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除了自己的无知， －苏格拉底 |
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站长在 Bluesky 新开了微博帐号 时空的乐章——引力波百年漫谈 (十五) 完成了对致密双星合并过程初期——即 “死亡序曲” 阶段——引力波波形的介绍， 现在我们转入对合并过程末期——即所谓 “死亡终曲” 阶段——的介绍。 与合并过程初期三类致密双星的细致区别可以忽略不同， 在合并过程的末期， 三类致密双星的区别变得显著， 从而必须分开讨论。 本节中， 我们首先讨论黑洞双星。 之所以首先讨论黑洞双星， 是基于由浅入深的原则， 因为在三类致密双星的合并中， 中子星双星合并和中子星-黑洞双星合并都牵涉到中子星， 而中子星的物态牵涉到广义相对论以外的物理， 而且是有很大未知性的物理。 这种未知性直接影响到对合并过程末期引力波波形的分析。 另一方面， 黑洞双星合并虽也是很复杂的过程， 却具有独特——甚至优美——的纯粹性。
这纯粹性首先体现在领域上， 即黑洞双星合并是一个纯粹的广义相对论问题， 不涉及其他物理领域。 其次， 这纯粹的广义相对论问题还具有物理性质上的纯粹性， 从某种意义上讲甚至比牛顿引力理论中的 “二体问题” 更纯粹。 这是因为牛顿引力理论中的 “二体问题” 带有一个作为数学抽象的必不可少的近似： 将所涉及的 “二体” 近似为两个质点[注一]， 而广义相对论中的黑洞双星合并乃是一个完全不涉及物质的纯粹的时空演化问题， 无需进一步的数学抽象， 它的初始状态是包含双黑洞的真空解[注二]， 终极状态则是克尔黑洞[注三]。 由于这种纯粹性， 描述黑洞双星合并过程的方程式乃是形式上极为简单的真空中的爱因斯坦场方程。 有意思的是， 爱因斯坦本人恰好留下过一张他亲自在黑板上写下真空中的爱因斯坦场方程的相片， 是 1931 年他在美国加州作学术演讲时被摄下的。 用我们的符号， 这一方程为——感兴趣的读者可以试着从 (2.9) 式出发推导一下：
一个形式上如此简单的数学方程式， 可以描述两个——乃至多个——黑洞相互绕转、 辐射引力波， 乃至相互合并的过程， 这是数学的巨大威力， 也是物理学的巨大魅力。 当然， 读者不可被形式上的简单所误导， (18.1) 式是一个非线性方程组， 对这种方程组， 哪怕具有纯粹性的问题也往往没有严格解， 黑洞双星合并的 “死亡终曲” 就是例子。 推究起来， 所谓黑洞双星合并的 “死亡终曲” 乃是一个笼统提法， 其本身还可细分为两个部分： 合并之前的最后阶段被称为——物理学家取名字的智慧真是难以恭维——“合并” (merge)； 合并之后的阶段则称为 “ringdown”， 译为 “拖尾” 或 “铃荡”——我更喜欢后者， 合音译意译于一体。 两者之中， “铃荡” 阶段只是对克尔度规的扰动， 这种扰动因辐射引力波而衰减， 使时空由非稳恒态向稳恒态过渡， 这种过程可以用后牛顿近似处理。 真正困难， 从而需要用 上节 末尾提到的数值相对论手段来计算的只是 “合并” 阶段。 别小看将 “死亡终曲” 分为 “合并” 和 “铃荡” 这种细分， 它不是为了炫耀物理学的条理性， 而是有着非常现实的意义。 事实上， 只有 “合并” 阶段需要用数值相对论手段来计算是一种细分之下才显现出来的幸运。 因为对于像黑洞双星 “合并” 那样复杂的物理过程， 普通物理学家所能获得的硬件资源只能提供一小段时间的数值相对论推演而不带来太大误差。 在这种条件下， “合并” 之前的 “死亡序曲” 以及之后的 “铃荡” 阶段都可以用后牛顿近似处理， 恰好将数值相对论的处理范围压缩到了硬件资源能够胜任的时间之内。 虽然针对黑洞双星的数值相对论计算哪怕在今天的硬件条件下也是富有挑战性的课题， 它的历史却出人意料的悠久， 甚至可以追溯到 “黑洞” 一词被采用之前的 1964 年[注四]。 那一年， 美国 IBM 公司的哈恩 (Susan Hahn) 和艾德菲大学 (Adelphi University) 的林奎斯特 (Richard Lindquist) 用一台浮点运算速度仅为每秒 10 万次、 跟今天的手机相比也远远不如的 IBM 7090， 对包含双黑洞的时空进行了历时几小时的数值相对论计算 (当时的机器时间相当昂贵， 区区几小时亦所费不菲)。 他们的计算没有得出物理上有价值的结果， 但这件事情本身——即在 “黑洞” 一词被采用之前， 就有人利用比今天的手机都远远不如的硬件资源进行过双黑洞时空的数值相对论计算——还是值得一记的。 哈恩和林奎斯特之后的又一次针对黑洞双星的数值相对论计算发生在 20 世纪 70 年代， 研究的是黑洞双星的正面对撞， 研究者名叫斯马 (Larry Smarr)， 是美国物理学家。 斯马的数值相对论计算远比哈恩和林奎斯特的成功， 在一定程度上可视为数值相对论手段的实质发源。 斯马的数值相对论研究也有值得一记之处， 那就是对数值相对论等领域的兴趣后来促使他创立了美国超级计算应用中心 (National Center for Supercomputing Applications)， 该中心在他主管期间开发了被很多人称为图像浏览器鼻祖的 “马赛克” (Mosaic) 浏览器。 该浏览器最初的目的是将远程数据图像化， 后来深刻地影响了互联网， 成为斯马对历史的最大影响——在一定程度上， 也可视为数值相对论结出的最意想不到的果实。 对黑洞双星的数值相对论计算真正成为重要课题是在 20 世纪 90 年代， 主要是拜 LIGO 所赐——因为黑洞双星合并被确立为了最有可能被 LIGO 探测到的引力波源之一， 从而引起了较广泛的兴趣。 对黑洞双星合并的数值相对论计算——乃至一般的数值相对论计算——本质上是通过数值计算研究时空的动力学演化。 不过这话听起来简单， 细究起来却有些令人困扰， 因为所谓动力学演化， 乃是给定一组动力学变量在某个初始时刻的空间分布， 然后求解其在未来时刻的演化， 这跟 “研究时空的动力学演化” 几乎是语义上冲突的——因为 “时空” 顾名思义已经包含了时间， 既然已经包含了时间， 还怎么演化？ 为解决这一问题——或者更确切地说是为了澄清广义相对论动力学的含义， 物理学家们对时空进行了分解， 用符号表示的话， 就是分解成 Σ × R， 其中 Σ 是三维类空超曲面， 表示空间， 坐标记为 xi (i=1, 2, 3)； R 是时间， 坐标记为 t。 这种分解是 1959 年由美国物理学家阿诺维特 (Richard Arnowitt)、 戴舍 (Stanley Deser) 和米斯纳 (Charles W. Misner) 提出的， 被称为 ADM 分解 (ADM decomposition)。 在 ADM 分解下， 时空的动力学演化可以表述为时空度规 gμν 在 Σ 上的诱导度规 hij 及 Σ 的外曲率 Kij 的动力学演化[注五]。 以上是广义相对论动力学的含义， 具体到数值计算上来， 基本手段则是将时空格点化， 将微分方程转变为差分方程 (difference equations)。 但其中有 “三座大山” (三个棘手问题) 必须解决。 首先是： ADM 分解下的广义相对论动力学是有约束的动力学， 因为场方程中有四个方程不含度规的二阶导数， 从而不是演化方程， 而只是对动力学变量 hij 和 Kij 的约束条件[注六]。 这种约束条件在数值计算时会产生一个问题， 那就是数值计算无论是计算方法本身的精度还是计算过程所保留的有效数字的位数都是有限的， 从而无可避免地存在误差。 这种误差带来的一个后果是： 在初始时刻得到满足的约束条件在演化过程中会遭到破坏。 当然， 既然数值计算无可避免地存在误差， 约束条件也就只需在误差许可的范围之内得到满足即可。 然而不幸的是， 对约束条件的某些破坏会以指数方式增长， 从而彻底破坏数值计算的有效性。 其次是： 数值计算中的坐标选择有很大的讲究， 许多坐标会在演化中产生出诸如坐标奇异性那样的 “病态” 结果， 从而也会破坏数值计算的有效性。 最后但并非最不重要的则是： 黑洞所带的时空奇点乃是 “雷区”， 同样会破坏数值计算的有效性， 从而必须采取适当手段处置之。 除这 “三座大山” 外， 当然还有来自算法、 收敛性、 维持时空的渐进平直性等等其他方面的要求也是需要兼顾的。 所有这些问题和要求合在一起， 使得对黑洞双星合并的数值相对论计算不仅是对硬件资源的挑战， 在理论上也是一个艰深课题。 不过， 经过很多物理学家的长时间努力， 上述问题逐一得到了起码是实用层面的解决。 比如针对约束条件的破坏——尤其是那些以指数方式增长的破坏， 物理学家们引进了所谓的 “约束阻尼” (constraint damping)， 那是一种以约束条件本身为基础构筑出来的特殊函数， 可以添加到场方程上而不影响动力学。 虽然尚无严格而普遍的数学证明， 但实际应用显示， “约束阻尼” 确实具有 “阻尼” 作用， 能使那些原本会以指数方式增长的破坏被控制在误差许可的范围之内， 从而解决约束条件的破坏问题。 至于坐标的选择， 如果让大家随便猜的话， 读者也许会想起我们在 第四节 中介绍过的调和坐标。 这种猜测大体不错。 受很多物理学家青睐并且历史悠久的调和坐标确实在很多方面都有特殊的便利。 不过对黑洞双星合并的数值相对论计算来说， 单纯的调和坐标仍不足以保证不出现 “病态” 结果——事实上， 人们发现单纯的调和坐标在演化过程中会产生所谓的 “坐标激波” (coordinate shocks)， 将有限距离映射为无穷小， 从而也是一种 “病态” 结果。 为解决这类问题， 1985 年， 德国数学物理学家弗里德里希 (Helmut Friedrich) 提出了所谓的 “广义调和坐标” (generalized harmonic coordinates)， 将坐标函数所满足的条件由调和坐标情形下的 gμν∇μ∇νxα = 0 改为了更普遍的 gμν∇μ∇νxα = Hα， 其中 Hα 是可以通过精心选择以排除包括 “坐标激波” 在内的 “病态” 结果的函数[注七]。 黑洞所带的时空奇点又该如何处置呢？ 那种奇点由于是物理奇点， 坐标选择对之是无能为力的， 处置的办法只能是 “手术”。 其中一种典型的 “手术” 叫做 “切除” (excision)。 具体地说， 就是将黑洞视界内的一个曲面视为额外的边界面——相当于将该曲面以内的黑洞 “纵深” 区域以及其所包含的时空奇点从时空流形中切除掉。 这种貌似偷懒的手段的有效性仰赖于所谓的 “宇宙监督假设” (cosmic censorship hypotheses)， 它表明奇点必然被视界所包围， 视界以外不存在奇点， 而且奇点的具体性质不影响视界以外的时空——从而可以切除[注八]。 施行 “切除” 之后， 奇点相当于被额外的边界条件所取代， 从而不再是 “雷区”。 “切除” 方法在数值相对论计算中的成功则在很大程度上可视为是对 “宇宙监督假设” 的有力支持。
利用上述手段[注九]， 物理学家们展开了对黑洞双星合并过程末期的数值相对论研究， 其中包括了对引力波波形的计算。 计算给出的引力波波形如右图所示[注十]。 将该图与 上节 给出的合并过程初期的引力波波形图相比较， 不难看出两者具有完全匹配的变化趋向， 从而可以非常顺利地相互衔接。 在数值相对论计算中， 最早得出重要结果的是一位 1973 年出生在南非约翰内斯堡的物理学家， 名叫普莱托雷斯 (Frans Pretorius)。 普莱托雷斯本科学的是计算机专业， 自硕士阶段开始研究黑洞物理学， 博士论文研究的是关于引力坍缩的数值相对论计算， 目前则已是普林斯顿大学的物理学教授。 为了研究黑洞双星的合并， 普莱托雷斯决定不用别人编写的现成程序 (反正那些程序也从未成功过)， 而充分利用自己的计算机专业背景， 亲自编写程序。 他的程序经过几个月的运行之后， 给出了针对等质量、 无自转、 初始轨道偏心率不超过 0.2 的黑洞双星合并过程末期的计算结果。 2005 年初， 普莱托雷斯在一次相对论会议上宣布了计算结果， 同年晚些时候， 他的题为 “双黑洞时空演化” (Evolution of Binary Black Hole Spacetimes) 的论文发表在了《物理评论快报》上。 普莱托雷斯的研究显示， 对于等质量、 无自转、 初始轨道偏心率很小的黑洞双星的合并， 整个合并过程中以引力波形式辐射出去的能量约相当于黑洞双星总质量的 5%， 其中漫长的 “死亡序曲” 阶段约占三成 (即辐射出去的能量约相当于黑洞双星总质量的 1.5%)， 极为短暂的 “死亡终曲” 阶段——主要是 “合并” 阶段——约占七成 (即辐射出去的能量约相当于黑洞双星总质量的 3.5%)。 由于黑洞双星有相当庞大的质量， “合并” 阶段又历时极短， 因而其所对应的辐射功率是极为惊人的， 这一特点我们在前文中已屡次提过， 在后文讲述到具体例子时还会再谈。 普莱托雷斯的研究同时也显示， 这种黑洞双星合并过程终了所形成的克尔黑洞的自转角动量约为最大可能值的 70%[注十一]。 继普莱托雷斯的初始研究之后， 针对黑洞双星合并的数值相对论计算很快被推向了更复杂的情形， 并且也取得了成果。 比如针对两个黑洞质量不相等 (但维持无自转和初始轨道偏心率很小这两个条件) 的情形， 研究显示， 合并过程中以引力波形式辐射出去的能量占黑洞双星总质量的比例， 以及合并终了所形成的克尔黑洞的自转角动量与最大可能值的比值， 都会随质量差异的增加而减小。 此外， 引力波的具体模式也会有微妙的改变 (比如多极展开中的某些高阶项的幅度会增大)， 这些特点原则上有助于从引力波波形中反推出两个黑洞的质量之比。 另外， 这种情形下还有一个重要特点， 那就是引力波会携带不为零的总动量， 使得合并终了所形成的黑洞会因辐射引力波而受到反冲， 反冲速度最高可达每秒 175 千米 (在两个黑洞的质量之比 m1 : m2 约为 0.36 时达到)。 又比如对于有自转 (但维持等质量和初始轨道偏心率很小这两个条件) 的情形， 黑洞双星的合并过程会有很大的额外复杂性。 其中相对简单的是两个黑洞的自转角动量及轨道角动量全都相互平行的情形， 最复杂的则是所有角动量都互不平行的情形——后者的轨道平面本身也会发生进动。 具体的研究显示， 有自转情形下的合并过程中， 以引力波形式辐射出去的能量占黑洞双星总质量的比例， 以及合并终了所形成的克尔黑洞的自转角动量与最大可能值的比值， 都有很宽的变化范围， 且最大值都比相应的无自转情形更大。 此外， 有自转情形下合并终了所形成的黑洞也可以有反冲， 反冲速度最高甚至可达每秒数千公里。 所有这些情形的研究结果合在一起， 构成了一个规模不小的引力波 “模型库”， 这是理论物理学家们为 LIGO 准备的厚礼。 有了这份厚礼， 当 LIGO 观测到引力波时， 只要将观测到的引力波波形与 “模型库” 里的引力波波形相比对， 便可在一定的精度和可信度下推算出黑洞双星的参数。 前面说过， 黑洞双星合并乃是一个完全不涉及物质的纯粹的时空演化问题， 如果说这样的问题是致密双星 “死亡终曲” 的 “真空篇”， 那么致密双星一旦包含了中子星， “真空篇” 就必须改为 “物质篇”。 对这种 “物质篇”， 物理学家们也做了不少研究。 “物质篇” 相对于 “真空篇” 的一个几乎是定义性的巨大复杂性当然是来自物质——且不是普通物质， 而是本身就有很大未知性的中子星物质。 物理学家们对这种物质的物态方程知道得很有限， 对这种物质在合并过程末期的形变、 撕裂， 以及合并产物的抗坍塌能力等等知道得就更有限[注十二]。 不仅如此， 由于这种物质的存在， 致密双星的合并不再是纯粹的广义相对论问题， 而是会在合并过程中涉及到引力波以外的辐射， 比如极强的中微子辐射， 以及被称为伽玛射线暴 (Gamma Ray Burst) 的极强的电磁辐射， 其中后一特点是辨识此类致密双星合并的重要途径——即如果在探测到引力波的同时还观测到来自同一方向的伽玛射线暴， 参与合并的致密双星就很可能包含中子星。 包含中子星的致密双星有两种类型， 我们先谈谈中子星双星。 对于中子星双星的合并， 如果两个中子星都是类似赫尔斯-泰勒双星里的那种质量为太阳质量 1.2—1.8 倍的典型中子星， 合并产物有几种可能性： 对于双星总质量在 2.6—2.8 倍太阳质量以下的致密双星， 合并产物很可能是一个具有极高温度、 极快自转的中子星； 对于双星总质量在 2.6—2.8 倍太阳质量以上的致密双星， 合并产物则有可能是黑洞——具体的界限跟物态方程有关。 此外， 在合并产物是黑洞的情形下， 黑洞的形成既有可能是立刻的——即直接坍塌成黑洞， 也有可能经历一个延迟坍塌的过程， 因为合并产物的高温和高速旋转都是抗拒坍塌的因素， 在某些微妙的条件下， 这些抗拒坍塌的因素可以阻止黑洞形成， 但这种阻止是短暂的， 因为旋转会因辐射引力波等因素而减慢、 高温也会因中微子辐射、 电磁辐射等因素而降低， 当这些抗拒坍塌的因素消退到一定程度时， 所谓的延迟坍塌就会发生[注十三]。 除合并产物的 “多元化” 外， 中子星双星合并的另一个不同于黑洞双星合并的地方是： 中子星双星合并通常会因激波、 巨大的潮汐力等缘故抛射出一些富含中子的物质碎片 (具体数量与物态方程有关， 粗略估计约为太阳质量的零点几倍)。 这种物质碎片可以经由诸如快速中子俘获过程 (rapid neutron-capture process， 简称 r-process) 那样的核反应合成重元素， 其中包括连恒星内部 “反应炉” 都无法有效合成的重元素， 比如 “金子” (金和铂)[注十四]。 包含中子星的致密双星的另一种类型是中子星-黑洞双星。 对于中子星-黑洞双星的合并， 合并产物显然是黑洞——在这点上不像中子星双星合并那样 “多元”。 不过中子星-黑洞双星的合并依然有巨大的复杂性， 具体情形视黑洞与中子星的质量比， 以及中子星物质的物态方程而定。 比如中子星何时会被黑洞的潮汐力所撕裂就既取决于黑洞与中子星的质量比， 也取决于中子星物质的物态方程。 另外， 中子星被撕裂时是位于黑洞的 “最内侧稳定圆轨道” (inner most stable circular orbit， 简称 ISCO) 的外侧还是内侧也有很大区别， 前者情形下一部分中子星物质会残留在黑洞周围的 “稳定圆轨道” 上形成吸积盘， 后者情形下则全部中子星物质都会因无法维持稳定轨道而被黑洞吞噬， 基本不留吸积盘。
(左) 中子星双星合并末期的引力波波形； (右) 中子星-黑洞双星合并末期的引力波波形 数值相对论计算给出的包含中子星的两类致密双星合并末期所发射的引力波波形如上图所示， 其中不同颜色的曲线对应于不同的物态方程。 由图中可以看到， 由于对物态方程缺乏了解， 我们对包含中子星的致密双星合并的数值相对论计算具有较大的不确定性， 对引力波波形也只能作出相对粗糙的预言——尤其是针对短暂而重要的 “合并” 阶段[注十五]。 不过也没什么可沮丧的， 因为理论遭遇困难的地方， 往往正是观测得以彰显之处， 未来引力波天文学的一个迷人课题， 就是利用引力波来窥视甚至在一定程度上反推中子星的结构， 中子星物质的物态方程， 以及作为合并产物的黑洞周围是否有吸积盘之类的细节——就像用光学望远镜探索天体一样。 当然， 这对引力波探测器的精度要求是很高的。
2018 年 3 月 6 日完稿 站长近期发表的作品
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