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欧几里得与《几何原本》 (中)

- 卢昌海 -

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《几何原本》的首个英译本

前文主要介绍了我们对欧几里得的了解——或许只是在 “不了解” 也是一种了解的悖论意味上， 以及《几何原本》的流传及版本沿革， 接下来让我们对《几何原本》本身略作介绍。

作为一部示范了公理化体系巨大威力的著作， 《几何原本》一开篇——即第 1 卷——就展开公理体系， 不带一个字的多余铺垫， 直接就列出了 23 个定义， 5 条公设和 5 条公理。 这是迥异于柏拉图和亚里士多德， 乃至迥异于一切哲学著作的风格。

不过， 风格虽异， 《几何原本》对公理和公设的区分跟亚里士多德的著作是明显相似的， 即公设是指单一学科——对《几何原本》而言是几何——独有的 “真理”， 公理则是适用于所有科学的 “真理”。 不仅如此， 《几何原本》中的某些定义和公理本身在亚里士多德著作中也能找到相同或相似的， 比如关于点、 线、 面的定义 (即定义 1、 2、 5——顺便说一下， 凡给出定义、 公理、 公设的序号而未指明第几卷的都是指第 1 卷， 下同) 亚里士多德也曾给出过； “等量减等量仍是等量” 这一公理 (公理 3) 亦是如此。 亚里士多德并且明确指出， 并非所有真命题皆可被证明， 必须将某些明显为真却无法证明的命题作为推理的起点， 这是公理和公设的起源， 也是其之所以必要的根本原因。 一般认为， 亚里士多德的这些观点对欧几里得是有一定影响的。 不过， 亚里士多德虽对公理和公设作出过区分， 却不曾对具体的——即几何领域的——公设做过论述， 《几何原本》所列的公设也因此被某些研究者， 比如前文提到过的希腊数学史专家希斯， 视为是欧几里得的原创^[注一]。

在《几何原本》所列的公设中， 包含了像 “所有直角彼此相等” (公设 4) 那样普通人根本不会想到要列出的命题， 这种极易被默认的命题乃是严密推理的大敌， 将之识别出来则不仅别具只眼， 而且是构建公理体系的必须——当然， 具体到这个特定命题， 它是否有必要提升为公设是可以商榷且往往没有唯一答案的^[注二]， 但不视之为想当然本身就已非常了得。 至于大名鼎鼎的 “第五公设” (公设 5) 则自然更是了得， 足可写出整本书的故事来， 就不在这里赘述了——不久之后会有单独介绍。

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注释

1. 不过考虑到欧几里得之前的数学著作多有失传， 仅凭亚里士多德不曾对具体公设做过论述， 就将公设视为欧几里得的原创似嫌草率。
2. 比如在德国数学家大卫·希尔伯特 (David Hilbert) 给出的 “现代版” 的几何公理体系中， “所有直角彼此相等” 这一命题就只是一个定理而不再是公设。
3. 这类证明往往用到逻辑上的 “排中律” (law of excluded middle)， 对之排斥最烈的则是一个被称为 “直觉主义” (intuitionism) 的数学哲学流派。
4. 对欧几里得生平了解的贫乏也在一定程度上波及了《几何原本》。 在相当长的时间里， 《几何原本》被认为有 15 卷， 但其中的第 14、 15 两卷后来被公认为并非出自欧几里得。
5. 不过， 出现在该中文版书名里的 “几何” 一词与 “Geometry” 是否同源， 含义是否相同， 都不无争议， 我们将在介绍《几何原本》与中国的渊源时细述。
6. 这里说明一下， 文献中虽普遍以 “Στοιχεῖα” 作为《几何原本》的希腊文书名， 但考虑到后世那些带 “几何” 一词的书名也常被简称为 “原本”， 这里似仍有一个 “Στοιχεῖα” 是简称还是全称的问题。 这个问题在我涉猎的文献里不曾见到说明， 故在前文中只称 “几何” 一词 “有可能” 是后人添加的。
7. 从历史的角度讲， 其实远在欧几里得之前， 代数就已被古巴比伦人发展到了不低的水准， 欧几里得为什么用几何手段另起炉灶呢？ 一般认为， 一是由于欧几里得对几何更熟悉， 对古巴比伦的代数则未必知晓； 二是因为古希腊的计数系统过于繁复， 以至于几何手段更为简单。
8. “O Γεωμέτρηѕ” 对应于英文的 “the Geometer”， 译成中文是 “几何学家”， 但这一中文翻译没能译出 “the” 所体现的含义。 在很多时候， 英文里这个最朴实无华的 “the” 比任何花哨的形容更强大， 此处就是一个例子， 它指的是但凡提到几何学家而不给出名字， 就特指欧几里得——或者换句话说， 欧几里得是几何学家的代名词。

2018 年 12 月 16 日完稿
2019 年  3 月  1 日发布
https://www.changhai.org/

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