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除了自己的无知， －苏格拉底 |
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本文发表于《Newton 科学世界》 2019 年第 2 期 (科学出版社出版)， 发表稿含编辑自行配置的插图及插图说明， 但不含注释。 本文上中下原稿合并发表于 2019 年第 3 期的《数学文化》。 |
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喜欢本人文字的读者 欧几里得与《几何原本》 (中)
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前文主要介绍了我们对欧几里得的了解——或许只是在 “不了解” 也是一种了解的悖论意味上， 以及《几何原本》的流传及版本沿革， 接下来让我们对《几何原本》本身略作介绍。 作为一部示范了公理化体系巨大威力的著作， 《几何原本》一开篇——即第 1 卷——就展开公理体系， 不带一个字的多余铺垫， 直接就列出了 23 个定义， 5 条公设和 5 条公理。 这是迥异于柏拉图和亚里士多德， 乃至迥异于一切哲学著作的风格。 不过， 风格虽异， 《几何原本》对公理和公设的区分跟亚里士多德的著作是明显相似的， 即公设是指单一学科——对《几何原本》而言是几何——独有的 “真理”， 公理则是适用于所有科学的 “真理”。 不仅如此， 《几何原本》中的某些定义和公理本身在亚里士多德著作中也能找到相同或相似的， 比如关于点、 线、 面的定义 (即定义 1、 2、 5——顺便说一下， 凡给出定义、 公理、 公设的序号而未指明第几卷的都是指第 1 卷， 下同) 亚里士多德也曾给出过； “等量减等量仍是等量” 这一公理 (公理 3) 亦是如此。 亚里士多德并且明确指出， 并非所有真命题皆可被证明， 必须将某些明显为真却无法证明的命题作为推理的起点， 这是公理和公设的起源， 也是其之所以必要的根本原因。 一般认为， 亚里士多德的这些观点对欧几里得是有一定影响的。 不过， 亚里士多德虽对公理和公设作出过区分， 却不曾对具体的——即几何领域的——公设做过论述， 《几何原本》所列的公设也因此被某些研究者， 比如前文提到过的希腊数学史专家希斯， 视为是欧几里得的原创[注一]。 在《几何原本》所列的公设中， 包含了像 “所有直角彼此相等” (公设 4) 那样普通人根本不会想到要列出的命题， 这种极易被默认的命题乃是严密推理的大敌， 将之识别出来则不仅别具只眼， 而且是构建公理体系的必须——当然， 具体到这个特定命题， 它是否有必要提升为公设是可以商榷且往往没有唯一答案的[注二]， 但不视之为想当然本身就已非常了得。 至于大名鼎鼎的 “第五公设” (公设 5) 则自然更是了得， 足可写出整本书的故事来， 就不在这里赘述了——不久之后会有单独介绍。
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