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尺规作图三大问题的早期历史
- 卢昌海 -
本文是替《Newton 科学世界》杂志撰写的科学史专栏随笔 |
一直追随我们这个科学史随笔系列的读者也许会注意到一个特点, 那就是在迄今为止的古希腊部分里,
数学占了很大比例。 这不是偶然的,
因为古希腊科学中最具持久性的成果大都是数学成果——而这本身也不是偶然的。
在现代科学哲学中, 数学跟自然科学是有分别的, 我们虽无意细谈这种分别,
却不妨用爱因斯坦的一句话来概述。 在一次题为《几何学与经验》的演讲中, 爱因斯坦曾经说道:
“只要数学命题是涉及实在的, 它们就不是可靠的; 只要它们是可靠的, 它们就不涉及实在”。
这句话精辟地显示出了数学的特点。 从自然科学的视角看, 这种特点有一定的悖理性:
因为早期的数学概念往往来自自然科学, 来自实在, 但我们越崇尚数学的可靠性,
就必须越承认它与自然科学的分别, 以及与实在的距离[注一]。
在人类思想史上, 直到近代仍有知名学者——比如法国哲学家勒内·笛卡尔 (René
Descartes)——试图以纯粹思辨来研究自然科学, 结果往往错得很离谱, 因为纯粹思辨最适于研究的,
其实是数学; 而数学与自然科学的分别, 以及与实在的距离, 则正是以纯粹思辨研究自然科学的最大软肋。
由于在实验科学诞生之前的年代里, 纯粹思辨无可避免地是研究自然的主要手段, 因此,
在数学以外的领域往往错得一塌糊涂——虽然很多开风气之先的贡献依然令人景仰,
最具持久性的成果则大都是数学成果。
也因此, 这篇随笔依然要谈数学。
美国斯坦福大学的已故数学史学家威尔伯·诺尔 (Wilbur Knorr) 曾经表示, 古希腊数学里的 “问题” (problem)
是专指作图问题。 而据数学史学家托马斯·希斯 (Thomas Heath) 引述的公元 4 世纪的希腊数学家帕普斯 (Pappus)
的说法, 古希腊人将作图问题分为三类: 可用 (不带刻度的) 直尺和圆规解决的被称为 “平面型” (plane);
需辅以圆锥曲线的被称为 “立体型” (solid); 需辅以螺线 (spiral) 等其他曲线的被称为 “线型”
(linear)[注二]。
由于数学很早就有一种追求 “最简” 的趋势, 因此一个作图问题如果是 “平面型”, 人们通常就不希望用到
“立体型” 或 “线型” 里的工具, 这种追求使 “尺规作图” 这一 “平面型” 的作图框架获得了特殊的重要性。
一般认为, “尺规作图” 是公元前 5 世纪的希腊数学家恩诺皮德斯 (Oenopides) 提出的。
欧几里得承袭了这一框架, 在《几何原本》中用两条公设 (公设 1 和公设 3) 确立了 “尺” 和 “规”
的基本操作, 并解决了大量的作图问题, 使之更为著名。 而这一框架的著名,
又使得 “倍立方” (doubling the cube)、 “三等分角” (angle trisection)、
“化圆为方” (squaring the circle) 这 “尺规作图三大问题” 因无法纳入这一框架而从反面暴得了大名。
这篇随笔就来谈谈 “尺规作图三大问题”。
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F. Borceux,
An Axiomatic Approach to Geometry: Geometric Trilogy I
(Springer, 2014).
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C. B. Boyer and U. C. Merzbach,
A History of Mathematics
(John Wiley & Sons, Inc., 2011).
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T. Heath,
A History of Greek Mathematics vol. I
(Oxford University Press, 1921).
-
W. R. Knorr,
The Ancient Tradition of Geometric Problems
(Dover Publications, Inc., 1986).
-
G. Sarton,
Ancient Science through the Golden Age of Greece
(Dover Publications, Inc., 1993).
2019 年 7 月 31 日完稿 2019 年 11 月 29 日发布 https://www.changhai.org/
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