尺规作图三大问题的早期历史

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本文发表于《Newton 科学世界》 2019 年第 11 期 (科学出版社出版)，发表稿含编辑自行配置的插图及插图说明，但不含注释，且因字数所限，有删略。

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尺规作图三大问题的早期历史

- 卢昌海 -

本文是替《Newton 科学世界》杂志撰写的科学史专栏随笔

一直追随我们这个科学史随笔系列的读者也许会注意到一个特点，那就是在迄今为止的古希腊部分里，数学占了很大比例。这不是偶然的，因为古希腊科学中最具持久性的成果大都是数学成果——而这本身也不是偶然的。

在现代科学哲学中，数学跟自然科学是有分别的，我们虽无意细谈这种分别，却不妨用爱因斯坦的一句话来概述。在一次题为《几何学与经验》的演讲中，爱因斯坦曾经说道： “只要数学命题是涉及实在的，它们就不是可靠的；只要它们是可靠的，它们就不涉及实在”。

这句话精辟地显示出了数学的特点。从自然科学的视角看，这种特点有一定的悖理性：因为早期的数学概念往往来自自然科学，来自实在，但我们越崇尚数学的可靠性，就必须越承认它与自然科学的分别，以及与实在的距离^[注一]。在人类思想史上，直到近代仍有知名学者——比如法国哲学家勒内·笛卡尔 (René Descartes)——试图以纯粹思辨来研究自然科学，结果往往错得很离谱，因为纯粹思辨最适于研究的，其实是数学；而数学与自然科学的分别，以及与实在的距离，则正是以纯粹思辨研究自然科学的最大软肋。

由于在实验科学诞生之前的年代里，纯粹思辨无可避免地是研究自然的主要手段，因此，在数学以外的领域往往错得一塌糊涂——虽然很多开风气之先的贡献依然令人景仰，最具持久性的成果则大都是数学成果。

也因此，这篇随笔依然要谈数学。

美国斯坦福大学的已故数学史学家威尔伯·诺尔 (Wilbur Knorr) 曾经表示，古希腊数学里的 “问题” (problem) 是专指作图问题。而据数学史学家托马斯·希斯 (Thomas Heath) 引述的公元 4 世纪的希腊数学家帕普斯 (Pappus) 的说法，古希腊人将作图问题分为三类：可用 (不带刻度的) 直尺和圆规解决的被称为 “平面型” (plane)；需辅以圆锥曲线的被称为 “立体型” (solid)；需辅以螺线 (spiral) 等其他曲线的被称为 “线型” (linear)^[注二]。

由于数学很早就有一种追求 “最简” 的趋势，因此一个作图问题如果是 “平面型”，人们通常就不希望用到 “立体型” 或 “线型” 里的工具，这种追求使 “尺规作图” 这一 “平面型” 的作图框架获得了特殊的重要性。一般认为， “尺规作图” 是公元前 5 世纪的希腊数学家恩诺皮德斯 (Oenopides) 提出的。欧几里得承袭了这一框架，在《几何原本》中用两条公设 (公设 1 和公设 3) 确立了 “尺” 和 “规” 的基本操作，并解决了大量的作图问题，使之更为著名。而这一框架的著名，又使得 “倍立方” (doubling the cube)、 “三等分角” (angle trisection)、 “化圆为方” (squaring the circle) 这 “尺规作图三大问题” 因无法纳入这一框架而从反面暴得了大名。

这篇随笔就来谈谈 “尺规作图三大问题”。

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注释

不过，数学与科学的关系极为密切，相互间有着深刻的互动，最低限度也扮演着科学的语言和工具的作用。因此在谈论科学或科学史时，绝不应拘泥于名称或哲学之见，把数学或数学史排除在外。也因此，我们这个科学史随笔系列在选材方面是将数学与科学一视同仁的。
对现代读者来说，这种分类是很能把人搅糊涂的。比如工具限制最宽泛的 “线型” (linear) 的现代词义为 “线性”，仿佛只适合跟直尺相匹配，以字面而论甚至比工具限制最严苛的 “平面型” 还要严。
有人可能会问：梅内克缪斯是如何作出那两条参数中带 a 的抛物线的？他的作法是这样的 (以其中的 y² = 2ax 为例)：用一个顶点为 A 顶角为直角的正圆锥 (圆锥是作圆锥曲线的基本道具，地位类似于直尺和圆规，所谓 “正圆锥”，则是指对称轴与底面相垂直的圆锥)，在圆锥面上与顶点相距为 a 的 B 点作一个垂直于 AB 的截面。可以证明，该截面与圆锥面相交所成的曲线为抛物线，其在截面内以 B 为原点某个显而易见的直角坐标系里的方程为 y² = 2ax。另外顺便可以指出的是，解决 “倍立方” 问题所需的虽只是抛物线，但梅内克缪斯被认为对椭圆和双曲线也作了定义，所用的截面不变 (即依然垂直于 AB)，改变的是圆锥的顶角——顶角为锐角时截面与圆锥面相交所成的曲线为椭圆，为钝角时则为双曲线。
比如欧几里得在《几何原本》第 2 卷的命题 14 中给出了构造与任意矩形等面积的正方形的 “尺规作图” 步骤，读者当不难将之改写为针对任意直角三角形。
不过另一方面，《论螺线》一书的命题 13 证明了直线与阿基米德螺线相接触时必定只在一点上接触。将这一命题与阿基米德偏好的用力学方法解决数学问题的思路结合起来，可以设想用一把直尺与阿基米德螺线相接触，并通过滑动使接触点为 P，如此便作出了阿基米德螺线在 P 点处的切线。
倒是现代的 “民科”，哪怕在 “尺规作图三大问题” 已被证明为不可能在 “尺规作图” 的框架内解决之后，依然 “前赴后继” 地留尸于这一领域。

参考文献

F. Borceux, An Axiomatic Approach to Geometry: Geometric Trilogy I (Springer, 2014).
C. B. Boyer and U. C. Merzbach, A History of Mathematics (John Wiley & Sons, Inc., 2011).
T. Heath, A History of Greek Mathematics vol. I (Oxford University Press, 1921).
W. R. Knorr, The Ancient Tradition of Geometric Problems (Dover Publications, Inc., 1986).
G. Sarton, Ancient Science through the Golden Age of Greece (Dover Publications, Inc., 1993).

2019 年 7 月 31 日完稿
2019 年 11 月 29 日发布
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