第五公设的早期探索 (上)

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本文发表于《Newton 科学世界》 2019 年第 4 期 (科学出版社出版)，发表稿含编辑自行配置的插图及插图说明，但不含注释。本文上下原稿合并发表于 2022 年第 4 期的《数学文化》。

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第五公设的早期探索 (上)

- 卢昌海 -

本文是替《Newton 科学世界》杂志撰写的科学史专栏随笔

细心的读者也许注意到了，在介绍欧几里得与《几何原本》时，有一条也许是整部《几何原本》中最吸引眼球的命题未曾展开说明，那便是大名鼎鼎的 “公设 5” (Postulate 5)——也即第五公设 (The Fifth Postulate)^[注一]。不过我们曾许诺 “不久之后会有单独介绍”，现在就让我们兑现许诺，来介绍一下第五公设及对它的探索。为避免偏离时间顺序太远，我们的介绍将只涵盖早期探索——确切地说，是所谓非欧几何 (non-Euclidean geometry) 诞生之前的探索。至于非欧几何，则将留作未来话题。

第五公设之引发探索，在一定程度上是拜五条公设的表述繁简之别所赐。为了看清这一点，我们将《几何原本》中的五条公设罗列于此：

在任意两点之间可作一直线。
线段 (有限直线) 可任意延长。
以任意中心及任意距离 (为半径) 可作一圆。
所有直角彼此相等。
若一条直线与两条直线相交，且同侧的内角之和小于两直角，则那两条直线任意延长后会在内角之和小于两直角的一侧相交。

既然罗列了公设，那么顺便说明一下，《几何原本》对公设的表述有一些细节上的瑕疵。比如有些隐含之意未被述及。具体地说，公设 1 没有述及在任意两点之间可作的直线是唯一的^[注二]，公设 2 没有述及线段延长的方式是唯一的，第五公设未述及三条直线位于同一平面这一先决条件。此外，同时使用 “直线” (straight line) 和 “有限直线” (finite straight line) 这两个术语，似乎意味着 “直线” 是无限的，其实却不然——否则就不会有第五公设中 “两条直线任意延长” 的说法了。

但撇开瑕疵不论，任何读到上述五条公设的人几乎必然会注意到一个特点，那就是：第五公设与前四条公设相比实在太繁复了，简直就像一条定理。虽然从逻辑上讲，公设 (以及公理和定义) 无非是一个公理体系的推理起点，繁复与否并不妨碍功能，但自古以来，对公设 (以及公理) 的一个重要判据就是自明性——或者用亚里士多德的话说，必须是明显为真却无法证明的命题^[注三]，而表述繁复会损及自明性。

第五公设的情形正是如此。

这一点引起了很多后世数学家的批评乃至不满。比如 17 世纪的英国数学家亨利·萨维尔 (Henry Savile) 和 18 世纪的意大利数学家吉奥瓦尼·塞开里 (Giovanni Saccheri) 都表示，第五公设是除此之外堪称完美的几何公理体系的唯一瑕疵^[注四]。

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注释

《几何原本》是如此著名，以至于在很长的时间里，许多著名命题哪怕已有单独名称，也仍可依据其在《几何原本》中的编排而称呼之。第五公设是最著名的例子——直到今天，就连 “公设” 一词本身都已被 “公理” 取代，第五公设依然可跟其单独名称平行公理 (Axiom of Parallels) 并用。一个不那么著名的例子则是毕达哥拉斯定理 (Pythagorean theorem)，在很长的时间里被称为 I.47——因为其在《几何原本》中的编排是第 1 卷的定理 47。
在德国数学家大卫·希尔伯特 (David Hilbert) 的 “现代版” 的几何公理体系中，这层意思得到了直接表述。
亚里士多德的这一观点可参阅欧几里得与《几何原本》的中篇。
萨维尔生于 1549 年，卒于 1622 年，塞开里生于 1667 年，卒于 1733 年，学术生涯都是 “跨世纪” 的，此处分别以其中一个世纪称呼之，乃是因所引述的有关第五公设的观点出自他们发表于那个世纪的著作。
但凡给出命题序号而未指明第几卷的都是指第 1 卷，下同。
“普莱费尔公理” 是因苏格兰数学家普莱费尔 (John Playfair) 而得名——虽然普莱费尔本人将这一公理归功于了比他略早的英国数学家卢德兰姆 (William Ludlam)。普莱费尔对 “普莱费尔公理” 的阐述发表于他 1795 年出版的《几何基础》 (Elements of Geometry) 一书 (具体文字与我们所述不尽相同)。 “普莱费尔公理” 由于表述简洁，被包括希尔伯特的《几何基础》在内的诸多现代几何著作所采用。另外顺便说一下， “普莱费尔公理” 常被表述为 “过直线外的任意一点有且只有一条直线与之平行”，不过我们在下篇中将会看到， “有且” 二字是多余的，因为哪怕不用第五公设也能确立平行线的存在 (即 “有”)，从而不必包含在第五公设的表述中。

2019 年 2 月 20 日完稿
2019 年 5 月 3 日发布
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