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第五公设的早期探索 (上)
- 卢昌海 -
本文是替《Newton 科学世界》杂志撰写的科学史专栏随笔 |
细心的读者也许注意到了, 在介绍欧几里得与《几何原本》时,
有一条也许是整部《几何原本》中最吸引眼球的命题未曾展开说明, 那便是大名鼎鼎的 “公设 5” (Postulate
5)——也即第五公设 (The Fifth Postulate)[注一]。
不过我们曾许诺 “不久之后会有单独介绍”, 现在就让我们兑现许诺, 来介绍一下第五公设及对它的探索。
为避免偏离时间顺序太远, 我们的介绍将只涵盖早期探索——确切地说, 是所谓非欧几何 (non-Euclidean geometry)
诞生之前的探索。 至于非欧几何, 则将留作未来话题。
第五公设之引发探索, 在一定程度上是拜五条公设的表述繁简之别所赐。
为了看清这一点, 我们将《几何原本》中的五条公设罗列于此:
- 在任意两点之间可作一直线。
- 线段 (有限直线) 可任意延长。
- 以任意中心及任意距离 (为半径) 可作一圆。
- 所有直角彼此相等。
- 若一条直线与两条直线相交, 且同侧的内角之和小于两直角,
则那两条直线任意延长后会在内角之和小于两直角的一侧相交。
既然罗列了公设, 那么顺便说明一下, 《几何原本》对公设的表述有一些细节上的瑕疵。
比如有些隐含之意未被述及。 具体地说, 公设 1
没有述及在任意两点之间可作的直线是唯一的[注二],
公设 2 没有述及线段延长的方式是唯一的, 第五公设未述及三条直线位于同一平面这一先决条件。
此外, 同时使用 “直线” (straight line) 和 “有限直线” (finite straight line)
这两个术语, 似乎意味着 “直线” 是无限的, 其实却不然——否则就不会有第五公设中
“两条直线任意延长” 的说法了。
但撇开瑕疵不论, 任何读到上述五条公设的人几乎必然会注意到一个特点, 那就是: 第五公设与前四条公设相比实在太繁复了,
简直就像一条定理。 虽然从逻辑上讲, 公设 (以及公理和定义) 无非是一个公理体系的推理起点,
繁复与否并不妨碍功能, 但自古以来, 对公设 (以及公理) 的一个重要判据就是自明性——或者用亚里士多德的话说,
必须是明显为真却无法证明的命题[注三],
而表述繁复会损及自明性。
第五公设的情形正是如此。
这一点引起了很多后世数学家的批评乃至不满。 比如 17 世纪的英国数学家亨利·萨维尔 (Henry Savile)
和 18 世纪的意大利数学家吉奥瓦尼·塞开里 (Giovanni Saccheri) 都表示,
第五公设是除此之外堪称完美的几何公理体系的唯一瑕疵[注四]。
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2019 年 2 月 20 日完稿 2019 年 5 月 3 日发布 https://www.changhai.org/
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