第五公设的早期探索 (下)

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本文发表于《Newton 科学世界》 2019 年第 5 期 (科学出版社出版)，发表稿含编辑自行配置的插图及插图说明，但不含注释，且因字数所限，有轻微删略。本文上下原稿合并发表于 2022 年第 4 期的《数学文化》。

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第五公设的早期探索 (下)

- 卢昌海 -

本文是替《Newton 科学世界》杂志撰写的科学史专栏随笔

<< 接上篇

让我们从普罗克洛斯开始介绍第五公设的 “证明”。普罗克洛斯在我们这个科学史随笔系列中已多次出场，他被认为是最后一位古典哲学家，在他之后是漫长的中世纪。普罗克洛斯一生著述颇丰，其中包括了对《几何原本》第 1 卷的评注。由于包括欧几里得在内的古希腊数学家的手稿多已不存，评注的重要性得到了极大的提升，普罗克洛斯的评注作为其中的佼佼者，是研究古希腊数学史不可或缺的资料。

关于第五公设，普罗克洛斯在评注中除给出自己的 “证明” 外，也介绍了前人的 “证明”。

普罗克洛斯所介绍的前人的 “证明” 之中，最早的一个出自一位名叫波希多尼 (Posidonius) 的古希腊 “通才”^[注一]。这也是我们迄今所知试图证明第五公设的最早努力。不过确切地说，波希多尼的努力不是通常意义下的证明——后者是用第五公设以外的《几何原本》来证明第五公设，波希多尼所做的则是引进一个不同的平行线定义。《几何原本》里的平行线由定义 23 所给出，指的是同一平面上互不相交的直线，波希多尼将之换成了处处等距的直线。利用这一定义，我们在上篇中提到过的第五公设的等价表述之一的 “普莱费尔公理” 就变得显而易见了——这也正是波希多尼的证明思路。但这一思路有很大的问题，比如无法证明波希多尼的平行线定义与《几何原本》里的定义相等价^[注二]。而两个定义的等价若无法确立，则 “普莱费尔公理” 就不再是第五公设的等价表述，证明前者也就不等于证明第五公设了^[注三]。此外，波希多尼的平行线定义还假定了与一条直线等距 (且处于同侧) 的点构成另一条直线 (否则连直线的资格都成问题， “平行线” 根本就无从谈起)，而这些其实都要靠第五公设才能确立的。

普罗克洛斯所介绍的另一个前人的 “证明” 出自公元 2 世纪的著名学者托勒密 (Claudius Ptolemy)。该 “证明”——按普罗克洛斯的介绍——是这样的：

首先，托勒密 “证明” 了若两条平行直线与另一条直线相交，则同侧的内角之和必须等于两直角。理由是：若某侧的内角之和小于 (或大于) 两直角，则考虑到两条平行直线的一侧并不比另一侧更平行，另一侧的内角之和也必须小于 (或大于) 两直角。但这是不可能的，因为这意味着两侧的内角之和加起来小于 (或大于) 四直角。可两侧的内角之和加起来乃是两个平角，按定义就等于四直角。利用这一点，托勒密就可以 “证明” 第五公设了，因为假如第五公设不成立，就必定存在与另一条直线相交的两条直线，其某侧的内角之和小于两直角，却任意延长也不会相交。但这样的两条直线在另一侧更不会相交 (因另一侧的内角之和大于两直角)，从而——按《几何原本》里的平行线定义——是平行直线。但既是平行直线，那么依先前 “证明” 了的命题，它们与另一条直线相交所得的同侧的内角之和必须等于两直角，跟第五公设不成立所得出的某侧的内角之和小于两直角相矛盾，这说明第五公设必须成立。

托勒密的 “证明” 错在哪里呢？读者不妨思考一下，答案——即错误之所在——则已用粗体标出了。普罗克洛斯看出了托勒密的错误，于是提出了自己的 “证明”。普罗克洛斯的 “证明” 是这样的：

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注释

波希多尼生于公元前 135 年，卒于公元前 51 年。如果不用 “通才” 来概括，他的头衔将包括哲学家、政治家、天文学家、地理学家、历史学家、教育家，等等。
这是因为，彼此等距 (从而满足波希多尼的平行线定义) 的直线虽一定不会相交 (从而也满足《几何原本》里的平行线定义)，反过来却不然，互不相交 (从而满足《几何原本》里的平行线定义) 的直线彼此未必等距 (从而未必满足波希多尼的平行线定义)。
所谓第五公设的等价表述，指的是该表述与第五公设的等价性可在第五公设以外的《几何原本》里得到证明。其中 “第五公设以外的《几何原本》” 包含了《几何原本》里的平行线定义，该定义若被替换而又不能证明替换的等价性，则所谓第五公设的等价表述也就不复等价了。另外顺便说明一下，我们这里所说的 “第五公设以外的《几何原本》” 可延伸为除去了平行公理的希尔伯特公理体系。
命题 27 指的是：若一条直线与两条直线相交，且内错角相等，则那两条直线彼此平行。感兴趣的读者请用这一命题补全对 “KH 必定与 CD 平行” 的证明。
确切地说，是 “普莱费尔公理” 成立，但 “普莱费尔公理” 与第五公设等价，因此也就等于是第五公设成立。另外值得一提的是，《几何原本》的命题 32 乃是这一命题的逆命题 (即如果第五公设成立，则三角形的内角之和等于两直角)，因此勒让德相当于证明了 “三角形的内角之和等于两直角” 与第五公设等价。
这一命题表明在欧几里得几何中，三角形的内角之和与两直角的大小关系是普适的——也就是说，在这种关系里可以用一个三角形代表所有三角形，而不必强调是 “一个” 还是 “所有”。
比如球面上的两条 “直线” (即大圆) 相交于两点，从而必须放弃公设 1，球面上的 “直线” (即大圆) 不能无限延伸，从而必须放弃公设 2。此外，球面几何还会破坏希尔伯特公理体系中的次序公理 (次序公理不是《几何原本》里的公设，是希尔伯特公理体系比《几何原本》更严密的诸多补充之一)。球面几何所必须放弃的额外公设和公理可通过将球面几何改造成所谓 “椭圆几何” (elliptic geometry) 而有所减少。

参考文献

J. S. Bardi, The Fifth Postulate (John Wiley & Sons, Inc., 2009).
Euclid, The Thirteen Books of the Elements, 3 vols. (Cambridge University Press, 1908).
M. Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, vol. 1 (Oxford University Press, 1972).
F. P. Lewis, History of the Parallel Postulate, The American Mathematical Monthly, Vol. 27, No. 1, pp. 16-23 (1920).
Proclus, The Philosophical and Mathematical Commentaries of Proclus on the First Book of Euclid's Elements (London Printed for the Author, 1792).
B. A. Rosenfeld, A History of Non-Euclidean Geometry (Springer-Verlag, 1988).
G. Sarton, Hellenistic Science & Culture in the Last Three Centuries B.C. (Dover Publications, 1959).
J. Stillwell, Reverse Mathematics: Proofs from the Inside Out (Princeton University Press, 2018).
R. J. Trudeau, The Non-Euclidean Revolution (Birkhäuser, 2008).

2019 年 3 月 21 日完稿
2019 年 5 月 30 日发布
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