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第五公设的早期探索 (下)
- 卢昌海 -
本文是替《Newton 科学世界》杂志撰写的科学史专栏随笔 |
<< 接上篇
让我们从普罗克洛斯开始介绍第五公设的 “证明”。
普罗克洛斯在我们这个科学史随笔系列中已多次出场, 他被认为是最后一位古典哲学家,
在他之后是漫长的中世纪。 普罗克洛斯一生著述颇丰, 其中包括了对《几何原本》第 1 卷的评注。
由于包括欧几里得在内的古希腊数学家的手稿多已不存, 评注的重要性得到了极大的提升,
普罗克洛斯的评注作为其中的佼佼者, 是研究古希腊数学史不可或缺的资料。
关于第五公设, 普罗克洛斯在评注中除给出自己的 “证明” 外, 也介绍了前人的 “证明”。
普罗克洛斯所介绍的前人的 “证明” 之中, 最早的一个出自一位名叫波希多尼 (Posidonius) 的古希腊
“通才”[注一]。 这也是我们迄今所知试图证明第五公设的最早努力。
不过确切地说, 波希多尼的努力不是通常意义下的证明——后者是用第五公设以外的《几何原本》来证明第五公设,
波希多尼所做的则是引进一个不同的平行线定义。 《几何原本》里的平行线由定义 23 所给出,
指的是同一平面上互不相交的直线, 波希多尼将之换成了处处等距的直线。
利用这一定义, 我们在 上篇 中提到过的第五公设的等价表述之一的
“普莱费尔公理” 就变得显而易见了——这也正是波希多尼的证明思路。 但这一思路有很大的问题,
比如无法证明波希多尼的平行线定义与《几何原本》里的定义相等价[注二]。
而两个定义的等价若无法确立, 则 “普莱费尔公理” 就不再是第五公设的等价表述,
证明前者也就不等于证明第五公设了[注三]。 此外,
波希多尼的平行线定义还假定了与一条直线等距 (且处于同侧) 的点构成另一条直线 (否则连直线的资格都成问题,
“平行线” 根本就无从谈起), 而这些其实都要靠第五公设才能确立的。
普罗克洛斯所介绍的另一个前人的 “证明” 出自公元 2 世纪的著名学者托勒密 (Claudius Ptolemy)。 该
“证明”——按普罗克洛斯的介绍——是这样的:
首先, 托勒密 “证明” 了若两条平行直线与另一条直线相交, 则同侧的内角之和必须等于两直角。 理由是:
若某侧的内角之和小于 (或大于) 两直角, 则考虑到两条平行直线的一侧并不比另一侧更平行,
另一侧的内角之和也必须小于 (或大于) 两直角。 但这是不可能的,
因为这意味着两侧的内角之和加起来小于 (或大于) 四直角。 可两侧的内角之和加起来乃是两个平角,
按定义就等于四直角。 利用这一点, 托勒密就可以 “证明” 第五公设了,
因为假如第五公设不成立, 就必定存在与另一条直线相交的两条直线, 其某侧的内角之和小于两直角,
却任意延长也不会相交。 但这样的两条直线在另一侧更不会相交 (因另一侧的内角之和大于两直角),
从而——按《几何原本》里的平行线定义——是平行直线。 但既是平行直线, 那么依先前 “证明” 了的命题,
它们与另一条直线相交所得的同侧的内角之和必须等于两直角,
跟第五公设不成立所得出的某侧的内角之和小于两直角相矛盾, 这说明第五公设必须成立。
托勒密的 “证明” 错在哪里呢? 读者不妨思考一下,
答案——即错误之所在——则已用粗体标出了。
普罗克洛斯看出了托勒密的错误, 于是提出了自己的 “证明”。 普罗克洛斯的
“证明” 是这样的:
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-
J. S. Bardi,
The Fifth Postulate
(John Wiley & Sons, Inc., 2009).
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The Thirteen Books of the Elements, 3 vols.
(Cambridge University Press, 1908).
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M. Kline,
Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, vol. 1
(Oxford University Press, 1972).
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F. P. Lewis,
History of the Parallel Postulate,
The American Mathematical Monthly, Vol. 27, No. 1, pp. 16-23 (1920).
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Proclus,
The Philosophical and Mathematical Commentaries of Proclus on the
First Book of Euclid's Elements
(London Printed for the Author, 1792).
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B. A. Rosenfeld,
A History of Non-Euclidean Geometry
(Springer-Verlag, 1988).
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G. Sarton,
Hellenistic Science & Culture in the Last Three Centuries B.C.
(Dover Publications, 1959).
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J. Stillwell,
Reverse Mathematics: Proofs from the Inside Out
(Princeton University Press, 2018).
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R. J. Trudeau,
The Non-Euclidean Revolution
(Birkhäuser, 2008).
2019 年 3 月 21 日完稿 2019 年 5 月 30 日发布 https://www.changhai.org/
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