什么是 Landau-Siegel 零点问题？

除了自己的无知，我什么都不懂。－苏格拉底

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本文发表于 2024 年第 1 期的《数学文化》。

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- 卢昌海 -

本文承张益唐教授拨冗审阅，特此鸣谢。

一. 引言

对中文圈的数学爱好者来说，很大程度上得益于美国加州大学圣巴巴拉分校 (University of California, Santa Barbara) 的张益唐教授的不懈研究，使 Landau-Siegel 零点问题 (也称为 Landau-Siegel 零点猜想) 成为了近年来一个 “出镜率” 较高的数学问题。很多数学爱好者也许听说过，这一问题跟著名的 Riemann 猜想有一定渊源。不过，出现在这一问题中的 “Landau-Siegel 零点” 究竟是什么，这一问题跟 Riemann 猜想具体有什么渊源，恐怕是普通数学爱好者知之不详的。本文打算对这些问题做一个简单介绍，以期为读者了解 Landau-Siegel 零点问题，乃至啃读相关研究提供一座小小桥梁。

本文的介绍将试图在概念层面上做到 “自给自足”——当然，这种所谓 “自给自足” 并非没有门槛，而只是将数论领域内的概念门槛降低一点。同时，本文也将追求 “理论最低要求” (Theoretical Minimum)^[注一]——即尽量不介绍多余的东西。据说俄国作家 Anton Chekhov 曾经表示，如果小说的第一章有一杆枪挂在墙上，那么在后面章节里，这杆枪必须开火。本文所谓的 “理论最低要求” 也有类似之意，即如果前面介绍过一个概念，那么在后面就尽量要用到这个概念——或者反过来说，一个概念除非后面要用到，否则尽量不在前面做介绍^[注二]。

现在让我们言归正传，从引进一些基本概念入手。

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注释

渊博的读者一定看出来了，这名称是拾了苏联物理学家 Lev Landau 的 “牙慧”。
当然，只能做到 “尽量” ——因为科学写作毕竟不同于小说创作，对领域内常用的、等价的或相关的概念，哪怕不直接用到，有时也必须提及，以扩大文章的适用面，同时也便利读者。

2023 年 11 月 27 日完稿
2023 年 12 月 13 日发布
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