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二〇〇六年日记
- 卢昌海 -
二〇〇五年日记 | 整理说明 <<
2006.1.4 星期三
重新思考了一下 2004 年 2 月 13 日考虑过的有关 Gödel
宇宙的问题。 当时我认为： “倘若 t 就是物理上的时间， 那么这些粒子的运动无论如何复杂，
必须在让时间轴闭合的时间 (即时间轴的 ‘周长’) 之后回到原有的位形”， 以及 “倘若粒子群的运动不是周期性的
(或者虽然是周期性的， 但周期与 Gödel 宇宙中时间轴的 ‘周长’ 不一致)， 那 Gödel 宇宙中的时间 t
就应该不同于物理上的时间”——这后一点其实是不可能出现的。
我们可以这样来考虑： 倘若宇宙中只有 “一个粒子” (加引号的原因后面会解释)， t=0 时位于 x=0，
沿闭合时间轴运行一周回到 t=0 时位置为 x=1 (不是原先的 x=0)， 再沿闭合时间轴运行一周后才回到 x=0
(并且速度也与初始值相同)。 这一情形的真正诠释是 t=0 时有两个粒子，
分别位于 x=0 和 x=1 (因此前面的 “一个粒子” 要加引号)。 这两个粒子组成的体系的运动将是周期性的
(周期就是 Gödel 宇宙中时间轴的 “周长”)。 这是最简单的情形， 在一般情形下，
粒子也许无论运行多少圈也不会精确地回到原先的出发点， 这时的真正诠释是 t=0 时有无穷多个粒子，
其位置分别等于那 “一个粒子” 各圈运行下来的位置！ 这种分布必定在某些区域形成无穷大的物质密度，
空间将在引力作用下彻底坍缩， Gödel 宇宙将不复存在！ 这个分析的出发点完全可以由 “一个粒子”
换成任意的物质分布， 甚至包括人。 每当这些物质沿时间轴运行一周后未能完全回复初始位形 (包括速度)，
t=0 的实际物质分布就必须包括那一位形。 因此对 Gödel 宇宙来说以下两种情形必居其一：
-
物质位形在沿时间轴运行有限多次后完全回到初始值， 这种情形下 t=0
时的物质分布是这有限多次回到时间原点时的物质分布的叠加。 这种叠加分布的整体运动是周期性的
(要注意的是， 求解场方程时所用的能量动量张量应该针对叠加分布)。
-
物质位形永远不会完全回到初始值， 这种情形下 t=0 时的物质分布是无穷多分布的叠加， 其密度起码会局部发散，
从而不存在自洽的 Gödel 宇宙。
换句话说， Gödel 宇宙只存在于第一种情形， 这时其物质运动必定是周期性的
(这也说明具有自由意识的时间旅行在 Gödel 宇宙中是不可能存在的)。
另外想到的一点是： 在讨论时间机器的的时侯通常讨论的是封闭类时曲线。 这种曲线不仅在时间上会回到原点，
而且在回到时间原点时也回到了空间原点。 这后一点似乎不是必须的， 一条类时运动只要在时间上回到原点，
就已经具备了时间机器的特点 (能回到现在及过去的不同位置也同样是时间机器)。 只不过，
出现这种情况时——如上面所说——新的位形将叠加在时间原点时的旧位形上。 这与我
1993 年 9 月 9 日 所说的
“回到过去的人必须精确地成为过去存在过的一个人， 他 (她) 的一切行为 (包括思维) 都无法突破这一限制”
是一致的。
2006.1.10 星期二
在地铁上读了 Brian Greene 的《The Fabric of the Cosmos》中有关时间箭头的章节。
Greene 介绍的主要是热力学箭头。 由于自然定律具有时间反演不变性， 热力学箭头面临这样一个问题：
那就是论述熵由小到大 (宏观体系由有序到无序) 的推理也适用于逆时间方向。 也就是说，
同一个推理应该得出这样的结论： 那就是无论往未来还是往过去看， 熵都应该是增加的。 这显然并不符合观测，
在观测上过去的熵小于现在的， 现在的熵又小于未来的。 Greene 对这个问题的解释是求助于宇宙学箭头：
过去的熵之所以小是因为宇宙大爆炸本身产生了一个熵很小的初始态 (宇宙初期物质分布是均匀的，
这种状态在没有引力作用时是熵很大的状态， 在有引力作用时则相反， 在引力作用下物质的分布倾向于成团，
均匀态反而是熵很小的状态)， 此后熵就一直在增加。 因此我们往未来看熵是增加的， 往过去看则是减少的。
2006.1.11 星期三
Brian Greene 有关 Transporter 的介绍大部分观点与我的
Transporter: 生命传输机一文相似
(甚至连复制生命不需要做到绝对精确， 以及生命未必是纯物质的这类可能性都同样提到了)。
不过他介绍的单光子 transportation 机制及实验我的文章没有涉及。 日后我将读一读那方面的论文
(虽然那种机制距离宏观物体的 transportation 还非常遥远)。
2006.1.12 星期四
读了 Brian Greene 有关时间机器的叙述， 与我的想法也比较一致，
不过他对经典与量子做了区分。 在经典情形下， 不存在自由意识 (假定生命的组成是纯物质的)， 他的叙述与我
1993 年 9 月 9 日的叙述基本一致。 在量子情形下，
无法简单地排除自由意识， 他着重介绍了多世界理论， 这可以用来避免因果徉谬。 他所提到的 Hawking
等人提出的时间机器有可能会被沿时间轴运行无数次的辐射所摧毁的看法则与我上星期的看法类似。
2006.1.20 星期五
读了 E. T. Bell 的《The Development of Mathematics》中有关发现负数的部分。
像负数这样一个从体系结构上讲极其简单的概念自公元 3 世纪 Diophantus 首先遇到 (这是西方的情况，
在中国最早涉及负数的是《九章算术》， 公元前) 以来， 被数学家们以单纯形而上学的理由拒绝了一千几百年，
直至 17 世纪 (其间唯一的例外是 Fibonacci 等曾用负数表示负债)。
我觉得这是过去的数学由于缺乏抽象化而阻碍发展的一个例子。 随着现代形式化思想的出现，
这种类型的阻碍变得越来越少， 这为数学的快速发展创造了很好的条件。
2006.2.7 星期二
今天是我上网这些年来最难过的一天， 得知 “繁星客栈”
的可可 (可见光)
网友已经不在人世了。
2006.2.10 星期五
以前我曾有过一个有欠思考的错误想法，
以为无穷大的速度在任意有限速度的参照系中都是无穷大， 或者说是
Lorentz 不变的。 今天因为要替《科幻世界》写一篇有关时间旅行的文章而查阅资料时，
意识到我的那一看法是错误的。 事实上， 如果在某个参照系中存在沿 x 轴速度为
v > c 的运动， 那么在相对于该坐标系沿 x 轴以速度 c2/v (这是亚光速) 运动的参照系中，
该运动的速度为无穷大 (该运动的世界线与参照系的 x 轴重合)。
在沿 x 轴的运动速度低于 c2/v 的参照系中， 该运动为有限速度 (但超光速)；
在沿 x 轴的运动速度高于 c2/v 的参照系中， 该运动则是逆时间的。
无穷大的速度只存在于一个参照系中， 因而不是 Lorentz 不变的 (也不能用来校对时钟)。
因此超光速 (即使是无穷大的速度) 的存在与 Lorentz 变换之间并没有我以前想当然以为的那种矛盾。
2006.2.16 星期四
正在读 R. N. Mohapatra 的 “Physics of Neutrino Mass” (hep-ph/0411131)。 在中微子质量究竟是 Dirac
还是 Majorana 这一点上， Mohapatra 提到：
... when a particle has a conserved quantum number (e.g. electric charge for the electron), one cannot write a
Majorana mass term since it will break electric charge conservation. However for particles such as the neutrino
which are electrically neutral, both mass terms are allowed in a theory. In fact one can stretch this argument
even further to say that if for an electrically neutral particle, the Majorana mass term is not included,
there must be an extra symmetry in the theory to guarantee that it does not get generated in higher orders.
In general therefore, one would expect the neutrinos to be Majorana fermions. That is what most extensions of
the standard model seem to predict.
对 Majorana 质量最有效的实验判断之一是无中微子双 β 衰变 (neutrinoless double beta decay)：
(A, Z) → (A, Z+2) + 2e—， 这是破坏轻子数守恒的过程， 如果在实验上观测到， 将表明中微子具有
Majorana 质量。 不过目前还没有确凿的证据。
2006.2.27 星期一
D. S. Hofstadter 在《Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid》一书中提到， 由于自然数公理体系中的 Gödel
命题 G (内容是 “在自然数公理体系内不存在 G 的证明”) 与 ¬G 均不可证明， 因此可以任选一个作为新公理加入自然数公理体系。
Hofstadter 把将 ¬G 作为新公理后得到的体系称为超自然数 (Supernatural Numbers) 体系， 在这个新体系中存在 G 的证明
(因为新公理 ¬G 的内容就是 “新体系中存在 G 的证明”)， 但那个证明不是有限长的 (否则 G 在自然数体系中就可以证明了)，
而且该证明得到的结果——即 G——是一个错误的命题 (因为 G 的内容是 “在新体系内不存在 G 的证明”， 与 G 存在证明不符)。
Hofstadter 认为这也超自然数体系的特点之一， 即超自然数定理有可能给出错误命题。 不过我觉得，
公理体系的自洽性应该包含 “错误命题不能在公理体系内得到证明” 这一点 (事实上， Hofstadter 在得出 ¬G
与 G 一样不可证明时已经用到了这一点)， 从这个意义上讲， 将 ¬G 加入自然数体系似乎是有问题的。
Hofstadter 提到超自然数体系的一个应用是非标准分析 (在其中非有限自然数的倒数被作为无穷小量)。
2006.3.15 星期三
读了 A. I. Khinchin 的《Mathematical Foundations of Statistical Mechanics》。 这本薄薄的册子虽然写于半个多世纪前，
但许多内容直到今天也不曾被一般的统计物理教材所涵盖， 比如 Birkhoff 定理。 这一定理表明在相空间的任一不变子空间 V
(不变子空间是演化为自身的子空间) 中， 除去一个测度为零的点集外， 相函数 f(pi(t), qi(t))
的时间平均在区间长度趋于无穷时存在 (并且与时间区间的起点无关)。 不仅如此， 如果 V
不可以分解为两个测度非零的不变子空间之和 (这种 V 被称为度规不可分割——metrically indecomposable)，
则该时间平均几乎处处等于相函数在 V 上的相空间平均。
不过这一结果并不足以证明统计物理中用相空间平均取代时间平均的做法， 因为统计物理中的相空间平均是在等能面上进行的，
而等能面并不是度规不可分割的 (任何与能量函数独立的运动积分都可以将等能面分割为不变子空间)。
Khinchin 对相空间平均为什么要在等能面而非其它运动积分所确定的等值面上进行也做了分析。
他的解释是： 物理学家们所关心的各种主要相函数具有一个共同特点， 那就是除去一个测度极小的点集外，
它们在等能面上的取值都极为接近， 因此它们沿绝大多数运动轨道的平均 (即时间积分) 等于整个等能面上的相空间平均。
那些相函数之所以具有这种特点， 是由于它们都可以表述为对单个相空间坐标的函数之和。 由于这一特点，
无需各态历经之类的动力学理论的支持， 就可以证明时间平均等于相空间平均
(在这里 Khinchin 仍然使用了 “各态历经” 这一术语， 但所指的并非动力学意义上的各态历经，
而只是时间平均等于相平均这一性质的代名词， 这种用法不是很妥当， 因为各态历经只是使时间平均等于相平均的可能机制之一)。
至于各态历经假设， 前面提到的 “任何与能量函数独立的运动积分都可以将等能面分割为不变子空间”
这一事实看起来似乎足以否证这一假设。 尽管 Khinchin 的观点不需要各态历经假设的支持，
但他对这种否证为什么不能成立作了解释。 不过他的解释是定性的 (虽然给出了一个简单的定量模型)，
而且有赖于相空间中的不同点表示同一个物理态这一通常在周期性坐标 (比如角坐标) 下才会出现的情形，
因此我觉得不够有说服力。
Khinchin 运用概率论方法推导正则分布的大致思路是这样的 (这里所用的符号与原书不同， 更接近统计物理)：
- 定义相空间等能面的面积 Ω(E) = V'(E)。
- (1) ⇒ Ω(E) = ∫Ω1(E—E1)Ω2(E1)dE1。
- 相空间平均的定义 ⇒ ρ(E1) = Ω2(E—E1)/Ω(E)。
- Z(β) = ∫e—βEΩ(E)dE。
- (2)(4) ⇒ Z(β) = Z1(β)Z2(β)。
- 定义 ρ(β, E) = e—βEΩ(E)/Z(β)， 它是一个概率密度。
- (6) ⇒ E 的平均值与方差。
- E = ΣEi 是独立随机变量之和 ⇒ ρ(β, E)。
- (6)(8) ⇒ Ω(E)。
- 选择 β 及确定 E。
- (3)(9)(10) ⇒ 子系统分布函数 (正则分布) ρ(E1)。
在这些步骤中， 只有 (8) 用到了中心极限定理 [同时也用到了性质 (5)]， 但 (10) 中对 β 及 E
的选择又使得中心极限定理中的高斯分布对结果不产生影响。 由于高斯分布是中心极限定理的核心内容，
它对结果没有影响， 是否表明中心极限定理其实并非必需？ 另外， 在统计物理中往往对 (3) 直接展开
(当然， 对 Ω 的渐近行为作了适当的假设， 但中心极限定理也并非不需要假设)，
这种更简单的证明是否其实是同样严密的？
2006.3.29 星期三
这几天， 一位繁星客栈的网友来信讨论量子力学中的时间算符问题。 量子力学 (包括相对论量子力学)
中时间与空间在算符化时的不平等， 是许多人争论的话题。 不过我觉得这种不平等在物理上并不难理解，
因为时间不是任何体系独有的东西。 我们不需要对一个量子体系做测量来确定它所处的时间。 相反，
我们从一个与该体系完全无关的时钟读出的时间就可以用来标识量子体系的状态演化。
这与空间及其它物理量的情况很不相同。 对空间来说， 观测者所在的位置不等于体系所在的位置，
体系 A 所在的位置不等于体系 B 所在的位置， 因此要确定体系的位置， 必须对体系本身做测量。
我觉得这是时间之所以以参数而非算符的方式出现的根本原因。
人们试图通过与哈密顿量对偶的方式构造的时间算符都不可能对应于普遍的物理时间， 而只能是与特定体系有关的某种特征时间。
人们往往对相对论中时空平等的概念作过分的引申， 几乎想把时空引申为彼此不可区分的概念，
这是一个误区。 事实上， 相对论所要求的只是物理规律的协变性。 此外的一切， 都不是必须的。
相对论量子力学满足 Lorentz 协变性， 这就足已满足相对论的要求了。 在物理量的算符化上，
没什么理由要求时空必须平等。
2006.4.7 星期五
开始读 S. Schweber 的 《QED and the Men Who Made It》。 这部著作介绍历史时不回避原始文献的技术细节，
这是该书的一个明显优点。 不过细看之下却发现，
作者在介绍那些技术细节时——比如引用原始文献中的公式时——往往不对符号的含义或定义给予说明。
我觉得这是一种疏漏， 因为那些原始文献由于年代久远，
所用的许多方法及符号与当代读者熟悉的方法及符号有很大的差异， 即使对于有技术背景的读者来说，
识别它们的含义也不是轻而易举的。
2006.4.25 星期二
20 世纪 40 年代后期——尤其是 1947 年的 Shelter Island Conference
之后的几年里——量子电动力学取得了重大进展。 但当时重整化计算所采用的思路与 30 年代 Dirac、
Pauli、 Heisenberg 等人的相似， 为什么 40 年代的 Feynman、 Schwinger、 Dyson 等人能获得成功，
而 30 年代的物理学家们却不能呢？ 除了 Lamb 等人的实验对理论的促进之外， Schweber
提到了一个很重要的原因， 那就是 30 年代的那些研究者——包括具有很大影响力的
Bohr——大都是量子力学的创始人， 他们亲身参与了物理学的革命， 因此而产生了一种惯性思维，
即认为量子电动力学遇到的困难也需要通过某种革命来解决。
而 40 年代的年轻物理学家们把革命性的相对论与量子力学当成既有知识来接受，
他们更倾向于在这种既有知识的范围内解决问题， 因此他们成功了。 这是一个很有意思的例子，
它说明开放的思想未必总是导致成功。
Schweber 书中另外一段令我印象深刻的叙述是有关战后日本物理学家与美国物理学家的交流。
1948 年， 朝永振一郎 (Tomonaga) 给 Oppenheimer 写信， 介绍了日本物理学家在量子电动力学中的工作。
在 Oppenheimer 的帮助下， 有关那些工作的介绍被发表在 1948 年 7 月 15 日的《Physical Review》上。
Dyson 评论说， 大家都为此而欣慰， 因为许多富有远见的学者已经看到了美国科学界正在滋长的民族主义傲慢情绪，
他们认为这一事件有助于消除那种情绪可能带来的危害。
本文已收录于电子书《我的 “航海日志”》(2002—2007)
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>> 整理说明 | 二〇〇七年日记
2020 年 5 月 23 日整理
2020 年 5 月 23 日发布
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