《走出混沌》：一本双重传略

除了自己的无知，我什么都不懂。－苏格拉底

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《走出混沌》：一本双重传略

- 卢昌海 -

前一阵读完了《数学文化》编委、美国南密西西比大学数学教授丁玖的缅怀导师之作《走出混沌：我与李天岩的数学情缘》，觉得很不错，且很独特，特撰本文推荐一下。

让我从自己几年前的几条微博说起吧——那是我对丁玖教授文字的最早印象：

2020 年 2 月 9 日：

前些天收到了最新几期《数学文化》。自此，该刊 10 年 40 期已然汇齐。过去几个月，从创刊号起，陆续翻阅着该刊，近日读到 2011 年第 3 期，其中有两篇文章特别精彩，都是关于美籍华裔数学家李天岩的 (很多博友想必知道他的著名论文 “周期三意味着混沌”)，一篇是丁玖的 “传奇数学家李天岩”，内容详尽而深入；另一篇是李天岩本人的 “回首来时路”，精辟中点缀着幽默。两篇并排，可谓传记与自传相得益彰。除学术成就外，李天岩最让我印象深刻的是大半生的疾病缠绕： 31 岁开始定期洗肾； 35 岁换肾 (失败)； 36 岁再次换肾 (成功)； 39 岁中风，做脑血管动脉瘤手术； 50 岁做背脊椎骨关节炎手术； 58 岁安装动脉血管支架…… 在 “回首来时路” 的末尾，李天岩写道：「我离开大学学习生活已经 40 多年了。有时常常想，若是重新再给我一次学习的机会，我将做什么，怎么做？但是正如……电影 “天涯何处无芳草” 中所提的： “没有人能使时光倒流，草原再绿，花卉再放。只有在剩余部分，争取力量！”」

2020 年 6 月 11 日：

读《数学文化》 2012 年第 3 期毕。 2012 年这前 3 期包含了一个精彩系列——《自然的奥秘：混沌与分形》。作者丁玖是李天岩的学生，李天岩则是约克 (James Yorke) 的学生。因此文中提到，当还在读小学的丁玖的女儿从老师那儿听到 chaos 的概念时，丁玖对她说， “你爸爸的导师和他的导师就是定义什么是 chaos 的两个人。等你长大点我可以告诉你关于 chaos 更多的故事”。这个系列也许就是那 “更多的故事” 吧。分享其中的一则关于分形之父曼德勃罗 (Benoit Mandelbrot) 的轶闻：曼德勃罗涉猎过很多领域，有一次做报告时，主持人介绍他在哈佛教过经济学，在耶鲁教过工程学，在爱因斯坦医学院教过生理学…… 曼德勃罗幽默地表示： “当我听到过去从事过的一连串职业时，就经常怀疑自己是否存在。这些集合的交集肯定是空的。”

2020 年 12 月 21 日：

读《数学文化》 2015 年第 4 期毕。这一期有一篇 “约克教授谈教育” 可能对很多读者有参考价值。这里的 “约克教授” 是混沌理论的重量级人物 James Yorke，文中他说了这样一句话： “就本科生教育而言，哈佛大学是美国最差的顶尖大学之一”，此文的联合作者丁玖并且补充说： “这句话让有 ‘名校情结’ 的中国父母听到，不啻是一记闷棍！事实上确实是。在最好的研究型大学里，许多教授不管本科课堂的学生是否跟得上他们飞快的讲课速度，课后也很少与他们交谈…… 天才教授也许只愿多花时间与他们的博士研究生探讨学问”。有人也许会说，约克教授倒还罢了，丁玖是谁啊？也敢一起泼冷水？丁玖是约克的弟子、名头不亚于约克的李天岩教授的学生，是资深数学教授，写过《亲历美国教育：三十年的体验与思考》等书，他的冷水也是极有分量的。

这几条微博谈及的文章多数出自丁玖，谈及的主要人物——李天岩和约克——则跟丁玖有师承关系。

那几篇文章将丁玖的大名作为一流作者存进了我的大脑。

(从左到右) 约克、李天岩、丁玖 “祖孙三代” ——摄于 2015 年

再次跟丁玖教授的文字打交道是 2023 年，契机是为《数学文化》审稿。

我在 “趋于 1 的缘分” 一文中曾经写道，《数学文化》有一个独特的审稿机制： “每期的草稿都会发到一个由编委及若干撰稿人组成的十几人的邮件组里，由每人挑选一两篇进行审阅”。 2023 年 11 月，出现在《数学文化》邮件组里的草稿包含了一篇丁玖教授的文章，标题是 “随风起舞——纪念冯卡门去世六十周年”，被我眼明手快地抢到。在 “审” 完后的反馈邮件里，我表示 “读丁老师的文章照例是名为校读，实为欣赏” ——这并非客套，因为丁玖的文字是很讲究的：遣词用句都很细心，内容铺陈则富有匠心，兼之逻辑周密、题材诱人。 “审” 他的文字实为美差，往往连一个错别字都纠不出，倒是能畅快淋漓地享受阅读乐趣。

跟丁玖教授的文字打过这样的交道，则不难想象，自从听说他出了一本新著——《走出混沌：我与李天岩的数学情缘》——后，我就 “贪念” 横生，梦想着将其中一本立在自己的书架上。

这 “贪念” 不仅来自对丁玖著作的喜爱和信心，更是因为这本新著涉及的是丁玖教授最独家的题材，缅怀的是他学术生涯里最重要、最亲近的人。李天岩门下一共出过 26 位博士 (按获得学位的年份排序，丁玖 “排行” 第六)，虽然我对其中 25 位一无所知，但我敢押很高的赌注，赌丁玖教授是最适合写这样一本缅怀之作的人。因为能写书的人在人群之中只占极少数，而我几十年的读书经验告诉我，像丁玖这样水准的作者在能写书的人之中又只占极少数。英国生物学家兼科学作家理查德·道金斯 (Richard Dawkins) 曾经写过一本书，书名叫作 Climbing Mount Improbable。我觉得，那两个 “极少数” 所叠加出的就是一座 “Mount Improbable”。在一个区区 26 人的 “小样本” 里，出现另一位能攀上这种山峰的人的概率是微乎其微的。

“贪念” 既生，自然要设法满足，但满足之路却颇有些崎岖——因为《走出混沌：我与李天岩的数学情缘》出版于疫情期间，回国逛书店在当时仍属遥不可及之事。

直到 2024 年年初，与前一次回国隔了将近四年半，我才再次踏上故土。虽然那次逗留的时间只有短短两天，造访的内地城市只有珠海一地，我仍抽空 “视察” 了一家名为 “珠海书城” 的大型新华书店——目的之一就是寻访这本《走出混沌：我与李天岩的数学情缘》，结果却是 “寻隐者不遇”。

不过幸运的是， 2024 年年底，我又回了一趟国。在那趟回国中，我首次参加了《数学文化》的编委会议，并且首次见到了编委之一的丁玖教授。被 “贪念” 怂恿着，多数时候怯于交际的我厚颜上前，主动 “搭讪” 索书，这才终于如愿以偿——后来得知，我厚颜得正是时候，因为丁玖教授用来赠送友朋的《走出混沌：我与李天岩的数学情缘》当时已只剩下最后一本！

在本质上是微博汇编的 “二〇二四年中国散记” 一文中，我记下了那次索书之举：

2024 年 12 月 8 日：

……今天的最大收获乃是结识了首度会面的《数学文化》编委丁玖教授，并得到了他的《走出混沌：我与李天岩的数学情缘》一书的签名题赠本。丁教授的文章在《数学文化》上拜读过不少，是我素来欣赏的，李天岩则是丁教授的博士导师。此书是李天岩去世后丁教授精益求精五度修订才付梓出版的缅怀之作，我在与会之前就 “盯上” 了。:-)

《走出混沌：我与李天岩的数学情缘》的 “签名题赠本”

如今，这本《走出混沌：我与李天岩的数学情缘》已被我读完，带着密集的 page markers (我的藏书习惯受集邮影响颇深，素来讲究品相，从不在书上涂写，遇到值得标记之处一般会贴 page markers 或将 notes 写在纸片上夹入书里) 立在书架上，与 Sheldon Glashow 的 The Charm of Physics、 Hans Bethe 的 The Road from Los Alamos、 John Wheeler 的 At Home in the Universe 等等比邻而居。

丁玖教授这本《走出混沌：我与李天岩的数学情缘》在一定程度上可视为李天岩的传略，虽篇幅不大，对李天岩的前半生着墨不多 (故不算完整传记)，却对其作为数学家的教学和研究两大人生主轴，及远比一般人坎坷的身体方面的境遇等，作了非常深入的刻划。另一方面，正如副书名 “我与李天岩的数学情缘” 所示，这本书同时也是一本关于丁玖本人的书——是一本带自传色彩的书。李天岩是丁玖的博士导师，两人有 35 年的 “数学情缘”。 35 年在意大利诗人但丁眼里正好是人生的一半 (但丁在《神曲》开篇写下 “Midway upon the journey of our life...” 时据说正是 35 岁左右)。现代人的人生虽往往比但丁那时来得长，但以其中的职业生涯而论， 35 年对任何学者都是学术生涯的很大比例。因此这本《走出混沌：我与李天岩的数学情缘》同时涵盖了李天岩和丁玖学术生涯的很大比例。从这个意义上讲，这本缅怀之作是李天岩和丁玖的共同传略——是一本双重传略。

这本双重传略还有以下特点：

对李天岩和丁玖在求知、教学、研究、交流等方面的理念作了很多阐释。那些阐释除涵盖核心理念外，还触及了一些很细致的分支话题，比如如何读书，如何求职，如何做演讲，等等。在阐释那些理念时，丁玖教授会用李天岩和他自己——尤其是他自己——的人生经历作为例子，不仅使理念变得鲜活，而且读起来有一种共话家常般的亲切感。这种亲切感也是我读这本书时的一种整体感觉。丁玖在讲述自己的人生经历时，连缺点和挫折都毫不避讳地娓娓道来、层层刨析，提炼出经验教训。这些连稍稍疏远些的亲戚或朋友都未必知道的经历和感悟，作为读者的我们却可以从这本书里分享到，这是作者与读者之间只有通过真正的好书才能建立起来的温暖纽带。读完这本洋溢着真挚情感的书，相信很多读者会有一种感觉，觉得作者仿佛是一位亲切而宽厚的朋友或长辈——这感觉与丁玖教授本人留给我的印象是完全一致的。这种亲切和宽厚也许正是丁玖教授从李天岩那里感受过的，如今通过这本书，通过质朴而坦诚的文字，传递给了读者。另外顺便提一下，丁玖教授是一位有几十年教龄的资深教授，出版过像《亲历美国教育：三十年的体验与思考》及《数学之英文写作》(与《数学文化》主编汤涛教授合著) 那样的专著，他所阐释的求知、教学、研究、交流等方面的理念都是对读者——尤其是尚在求学阶段的读者——有很大现实借鉴意义的经验之谈。
这本书虽不是数学科普，不以数学细节为重点，但为数不多谈论数学细节的部分却非常精辟——不仅题材往往是普通数学科普里读不大到的，且还对一些有趣的史实作了辨析，并澄清了一些常见的误区。前者比如对李天岩除 “周期三意味着混沌” 之外的其他数学贡献及研究过程作了简明介绍；后者最令我印象深刻的则是对 “周期三意味着混沌” 与乌克兰数学家沙科夫斯基 (Oleksandr Sharkovsky) 的早期研究之异同作了辨析，并澄清了与 “周期三” 有关的一个常见的误区。

为了印证我所言不虚，也为这篇推荐增加点份量，这里干脆介绍一下与 “周期三” 有关的那个常见的误区。 “周期三意味着混沌” (Period Three Implies Chaos) 是李天岩与导师约克发表在《美国数学月刊》(The American Mathematical Monthly) 上的著名论文的标题。《美国数学月刊》是一份发行量很大的数学杂志，上面的文章——依照该刊编辑一度拒绝 “周期三意味着混沌” 时所提的要求——需浅显到 “一般学生都能看懂的地步”。不知是不是因为投寄给这样一份刊物之故，李天岩和约克取了 “周期三意味着混沌” 这样一个琅琅上口却不甚精确的标题——其中的 “周期三” 的提法容易造成一个望文生义的误区。用具体然而浅显的话说， “周期三” 指的是一个函数在某个点迭代三次会首次回到初始值，所谓 “周期三意味着混沌”，从字面上讲，则是指一个函数若在某个点具有 “周期三”，则总体上会出现混沌现象。由于混沌现象是自然界中一类很重要、很复杂的现象，因此像 “周期三意味着混沌” 那样的普适结果是很引人注目的。但问题是，对自然现象来说，严格的 “周期三” 是很苛刻的条件——比如一个生物种群的个体数量在三代之后严格回到初始值是非常小概率的事情，一个数学结果若有赖于苛刻的条件，在现实世界里就很难有真正的普适性。幸运的是，李天岩和约克论文里的 “周期三” 的真正含义是：函数在某个点的前两次迭代的结果逐次增加 (或逐次减少)，第三次迭代的结果则不大于 (或不小于) 初始值。很明显，这样的含义在现实世界里将会容易实现得多 (因为不要求严格的 “周期三”)，结果的普适性则会大大增加。这个细节被很多人乃至很多书所忽略，成为一个常见的误区，在丁玖教授这本书里则得到了清晰的说明。

谈到这里，顺便请读者做一点小小的思考，以加深理解。丁玖教授在给出了 “周期三” 的上述真正含义后表示， “周期三” 只是上述含义的特例。不过，不知有没有读者产生这样一个疑问，那就是：上述含义由于只要求第三次迭代不大于或不小于初始值，从而确实比要求第三次迭代等于初始值的 “周期三” 更普遍；但另一方面， “周期三” 对前两次迭代并无逐次增加或逐次减少的要求，却又反而比上述含义更普遍，两者似乎互不包含，谁也不是谁的特例。情况果真如此吗？感兴趣的读者不妨思考一下。
这本书的 “主角” 虽是李天岩和丁玖，却也穿插了一些跟其他数学家有关的逸闻和花絮——都是跟主题存在某种相关性的。那些逸闻和花絮不仅有趣，而且有时还能跟读者产生意想不到的共鸣。比如在谈论如何做演讲时，丁玖教授穿插介绍了一些数学家对做演讲的看法和经验，其中有一段就出乎意料地 “于我心有戚戚焉” ——对此，容我再引一条自己的微博：

2025 年 2 月 10 日：

　　在 “YouTube 频道一月记” 里，我曾提到，昔日为了做一个题为 “希尔伯特与广义相对论场方程” 的报告，我不仅写了脚本，还独自练习了很多次，最后简直将脚本背了下来。这是我不擅演讲、因演讲而战战兢兢的写照。不过近日在丁玖教授的《走出混沌》一书中，读到演讲高手、匈牙利裔美国数学家哈尔莫斯 (P. R. Halmos) 的经验之谈，称自己准备报告的步骤是 “大声讲了一遍，然后对着录音机……从头到尾听了六遍——其中三遍找出需要加工的地方 (下一遍前已经加工)，其后的三次用于调整演讲时间……一旦做完了这些，并已准备好了胶片，我从头到尾又彩排了一次……” 更有甚者， “一位著名数学家也曾告诉他 [哈尔莫斯]，为了做一个五十分钟的学术演讲，自己足足花了五十个小时为之准备……”——这甚至比我花的时间还多。读到这些不觉大感安慰。:-)

当然，各花入各眼，什么内容在什么时候会因什么经历而与自己产生共鸣是因人而异的，读者诸君当会有自己的阅读体验——这种事先无法预测的体验也正是阅读乐趣的一部分。
这本书的素材虽主要是基于丁玖与李天岩的直接交往，却也收录了一些李天岩的同事及其他学生的回忆，使视角更加立体，信息也更为丰富。美国作家阿西莫夫 (Isaac Asimov) 曾将自己第一本回忆录的书名取为 In Memory Yet Green (记忆犹新)，丁玖这本书的初稿完成于 2020 年 10 月 16 日，距李天岩教授的去世时间—— 2020 年 6 月 25 日美国东部时间早晨 8 点 45 分——不到四个月，其 “memory” 远比阿西莫夫的回忆录更加 “green”。更重要的是，丁玖有跟阿西莫夫一样的从年轻时代开始就记日记的习惯，他并且还有保存书信的习惯。写于李天岩去世后不久，使这本书有了最真切而丰沛的情感；以日记和书信为依托，使这本书有了最细致而可靠的信息；而在这些之上，还有初稿完成后的五个月时间内的五次修订。所有这一切——以及前述所有其他特点——共同造就了这本独树一帜的双重传略。

在结束这篇推荐之前，让我从这本《走出混沌：我与李天岩的数学情缘》里引几句李天岩本人的话。李天岩的一生有别于普通人或普通数学家的一个最大的特殊性，是——如前面微博所概述的——他大半生的疾病缠绕。从始于 31 岁的定期洗肾算起，直到 75 岁去世，在长达 44 年的时间里，李天岩凭着——用丁玖的话说—— “惊人的钢铁意志”，活出了 “多姿多彩的丰富人生”； “几十次的全身麻醉，数不清的大小开刀，不计其数的局部麻醉，先后若干枚的 ‘血管支架’，以及全身密布的累累刀疤，都挡不住他山火一般的生命洪流”。书中不止一次提到，李天岩鼓励学生的一句话是： “如果你们做学问有什么困难，只要想到我的一身病体，就不会有任何困难了。”

在这本书的封底，印着李天岩的另外两段话，其中几句是这样的：

对于随时可能袭来的死亡，我没有畏惧。
我已做完了尘世的工作，打完应打的战了。

我没爬过最高的山，但我攀越人生的险山峻岭。
我没游过最深的海，但我游过人生的恶水急流。

这些跟前面微博里引过的「我离开大学学习生活已经 40 多年了。有时常常想，若是重新再给我一次学习的机会，我将做什么，怎么做？但是正如……电影 “天涯何处无芳草” 中所提的： “没有人能使时光倒流，草原再绿，花卉再放。只有在剩余部分，争取力量！”」都是让我深为感动的话——因为来自一个真实的人，一位令人钦佩的数学家。

丁玖有幸，能遇到李天岩那样的名师，既是学问上的向导，更是人生的楷模。

李天岩有幸，能招到丁玖这样的学生，不仅继承 “衣钵”，而且记录了他的生命风采和学术精神。

读者亦有幸，能读到这样的好书。

(从左到右) 李天岩与丁玖——摄于2010 年

2025 年 3 月 11 日完稿
2025 年 3 月 11 日发布
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