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博 文
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在友人微博上看到一幅周作人儿子周丰一与女友孙德志的合影， 时间是 1935 年。 这种气质的相片在 1949
年之后的中国急剧减少， 取而代之的是前三四十年的灰头土脸及后三四十年的搔首弄姿。
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#百字科普# 量子场论里的真空并非真正一无所有， 为什么呢？ 因为测不准原理。
这个原理最为人熟悉的版本是粒子的位置和动量 (或位置的改变率) 不能同时确定——包括不能同时为零。
其场论版本则是场和场的改变率不能同时确定——从而不能同时为零。 这意味着量子场永远是动态的，
就连真空也并非真正一无所有。
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以前看过几部张嘉译主演的连续剧。 对此， Youtube 记得比我自己还牢， 前不久向我推荐了他主演的《浮沉》。
点进去看了些片段， 发现此剧并非新剧——从手机款式便能看出， 但最体现这一点的则是 “女一号” 夸 “男一号”
的一句台词： “让你骗人， 比让各部门的发言人说真话还难。” 这台词如今怕是通不过审查了吧。
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#百字科普# 在数学世界里， 存在不可判定的命题， 存在不可判定的集合， 存在不可计算的函数，
这些都是能让普通读者感到神秘的结果——其中前者隶属于大名鼎鼎的哥德尔不完全性定理， 后两者虽不若前者有名，
却也与之颇有渊源。 未来几天内， 我将用几条微博的篇幅 (是的， 只需几条微博)， 来非正式地证明后两者。
首先来证明定理一： 自然数集 ℕ 中存在不可判定的子集。
为此首先要定义对自然数集 ℕ 的子集， 什么叫作可判定， 什么叫作不可判定， 即定义一：
如果能通过一个算法 (即通过有限条指令， 经有限个步骤)， 判断出任何一个自然数是否属于自然数集 ℕ
的某个子集， 则称该子集为可判定， 反之则为不可判定。
定义一意味着引理一： 对自然数集 ℕ 的任何一个可判定的子集——不妨记作 S，
必定存在一个算法——不妨记作 ALG， 它施行于每个自然数都可得到一个本质上为 “是” 或 “否” 的结果， 且结果为 “是”
的自然数恰好组成 S。 我们用 ALG(ℕ) = S 来表述这一点。
接着来证明引理二： 算法的总数至多可数。
为此首先对表述算法所需的符号进行编号。 继而可将每个长度有限的符号串——其中包括了每个算法——对应于自然数
Πpisi (其中 si 为符号串中第 i 个符号的编号，
pi 为由小到大排列的第 i 个素数， 算术基本定理保证了这是一一对应)。 故算法的总数至多可数。
由引理一和引理二即可推出定理一， 因为自然数集 ℕ 的子集数量是不可数的
(这是集合论里的简单定理， 证明并不复杂， 不在这里复述了)，
而引理一和引理二表明其中的可判定子集跟算法之间存在 ALG(ℕ) = S 的对应，
故总数跟算法相若， 至多可数。 因此自然数集 ℕ 中存在不可判定的子集。 证毕。
定理一既已得证， 更笼统的 “存在不可判定的集合” 自然不言而喻。 同理， 要证明 “存在不可计算的函数”，
只需证明定理二： 自然数集 ℕ 上存在不可计算的函数。 为此当然也得先有定义，
即定义二： 如果能通过一个算法， 计算出一个函数对任意自变量的数值，
则称该函数为可计算， 反之则为不可计算。
为证明定理二， 我们引进所谓特征函数的概念， 即定义三： 对自然数集 ℕ
的子集 S， 若自然数集 ℕ 上的函数 f 满足 f(n) = 1 (对一切自然数 n ∈ S)， f(n) = 0 (对一切自然数 n ∉ S)，
则称 f 为 S 的特征函数。 接着我们将证明引理三： 自然数集 ℕ
上存在不可计算的特征函数。 定理二则将不言而喻。
由定义一、 定义二、 定义三可推知引理四： 自然数集 ℕ 的子集 S 的特征函数 f
是否可计算， 与 S 是否可判定等价。 因为计算 f(n) 的算法自动给出了对 n 是否属于 S 的判定；
反之， 判定 n 是否属于 S 的算法亦自动给出了对 f(n) 的计算。 由引理四和定理一即可推得引理三和定理二。
证毕。
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「Nearly all creators of Utopia have resembled the man who has toothache, and therefore thinks that
happiness consists in not having toothache. They wanted to produce a perfect society by an endless
continuation of something that had only been valuable because it was temporary.」—— George Orwell
This characterization captures Heaven as well, where singing is what receives endless continuation. Isaac
Asimov once commented: what human being with a modicum of intelligence could stand such Heaven? Orwell
also said, in the same article, whoever invented such "perfection" simply reveals his own emptiness.
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两周前写过一条关于 Klein 和 Poincare 竞争的微博， 称他们 “基本打平”。
一位对 Poincare 做过深入研究的友人日前转来一本 Poincare 传记里的几段话， 从中看更像是 Poincare “大胜”。
我粗略复核后作了一个简短回复。 考虑到微博于我类似于日志， 在这里做个记录 (文字略有修订)，
以便今后若正式写这个题材的话， 可作为进一步查索资料的起点和备忘，
同时也供读过我先前微博的朋友参考：
「我那条微博是参照了 Reid 在 Hilbert 一书里的说法： “The final result
was essentially a draw”。 与其他资料的出入有几种可能性： 一是 Reid 因为是写 Hilbert 传记，
采访的人以哥廷根数学家为多， 得到的信息可能有些偏向 Klein； 二是 Klein 可能有自己设定的研究目标，
所谓打平有可能是仅指他在该目标上及在两人竞争的时间范围内没有输给 Poincare， 比如 Wiki 提到 Klein
和 Poincare 当时都想表述和证明一个所谓的 uniformization theorem， 且 “Klein succeeded in formulating
such a theorem and in describing a strategy for proving it”， 而 Poincare 同一时期完成的也只是先期研究。
但两人之后的轨迹完全不同， Poincare 于 1907 年给出了该定理的严格证明， Klein 则转向了数学教育及学派建设。
“大胜” 的说法如果是把 Poincare 之后的研究也考虑在内了， 则或许该算是一种不同语境的比较。」
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近日的一则新闻是： 中美洲小国尼加拉瓜再次由台湾倒向中国。 多年来， 这种两岸外交战着实养肥了几个小国，
而其中， 处于绝对劣势的台湾尤显不智——因为再怎么使劲， 邦交国数目也体面不起来， 但这数目若非台湾自己扳着指头在数，
又有几个国家在意呢？ 真正体现台湾国际地位的不是邦交国数目， 而是持台湾护照能免签前往或落地签证的国家数目：
115， 其中包括大多数发达国家。 相比之下， 中国护照的这一数目仅为 69， 几乎全是 (套用中国战狼近来爱用的语汇)
“蕞尔小国”， 连 “不是盟友， 胜似盟友” 的俄罗斯都不在其列。 无邦交却能免签前往与有邦交却不能免签前往，
是里子与面子之别， 也是国民享受到的是利益还是鸡血之别。
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疫情如同 “老兵不死”， 甚至都不肯 “慢慢凋零”。 既如此， 就继续聊聊美国疫情吧。 尽管 CDC
一直在鼓励打加强针， 但民众反应不太热烈。 从数据看， 目前绝大多数重症和死亡仍是未打疫苗者，
因此尽管疫苗效力已随时间衰减， 防重症效力依然可观。 但另一方面， 疫苗的防感染效力却衰减得更快。
从原理上讲， 这是意料之中的， 因为疫苗效力的下降主要体现为抗体浓度降低， 而浓度一旦太低，
免疫系统遭遇病毒后就得靠记忆细胞重新 “激励”， 这要一段时间， 在此期间出现症状 (即所谓被感染)
和传播病毒 (即感染别人) 的可能性都会大幅增加。 现在美国的打过疫苗者除少数打过加强针外，
其余多已进入这种状况， 由此产生的后果是： 免疫屏障大为减弱。 这屏障虽从未达到过群体免疫，
却仍在一定程度上让不打疫苗者坐享其成地受到过保护。 它的减弱则跟冬季及年末假期的降临共同推动了疫情反弹，
使不打疫苗者成为受创最重的群体 (虽然这 “头衔” 之前也并未旁落过)。
聊完了事态层面， 再聊聊政治层面。 以前有关疫苗的最搞笑说法， 是有共和党支持者称民主党人呼吁打疫苗是阴谋，
是想激起共和党支持者的逆反心理， 让他们更不愿打疫苗， 从而被病毒消灭。 我觉得， 将这搞笑 “变异”
一下， 称它为共和党人的阴谋， 即通过抵制疫苗， 拼着让一部分支持者被病毒消灭， 来重创须为现状担责的拜登政府，
倒不无歪打正着之处。 当然， 两者同为胡扯， 但拜登政府目前的处境却宛如后者， 极可能导致明年国会选举翻车。
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「What makes a book live? How often this question arises! The answer, in my opinion, is simple.
A book lives through the passionate recommendation of one reader to another. Nothing can throttle
this basic impulse in the human being. Despite the views of cynics and misanthropes, it is my
belief that men will always strive to share their deepest experiences.」—— Henry Miller
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「母爱这个大题目， 像一切大题目一样， 上面做了太多的滥调文章。
普通一般提倡母爱的都是做儿子而不做母亲的男人， 而女人， 如果也标榜母爱的话，
那是她自己明白她本身是不足重的， 男人只尊敬她这一点， 所以不得不加以夸张， 浑身是母亲了。
其实有些感情是， 如果时时把它戏剧化， 就光剩下戏剧了； 母爱尤其是。」——张爱玲
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【小闲事】 在纽约某中文书店购书数册， 尤以一元区所见之《五四文坛点滴》 (赵聪著， 品相上佳)
最为意外之喜。 周作人曾在 1964 年 9 月 29 日致鲍耀明信里 “乞找” 此书： “……赵聪的《五四文坛点滴》，
不知市上尚有否？ 乞代找一本， 心想一看”。 阅后的评价则是 “大体可以说是公平翔实， 甚是难得”。
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感觉欧美对 Omicron 变异有些过度反应， 某些应对 (比如法国对英国的旅行禁令) 颇显惊慌失措
(最早对南非实施禁令的英国本身就是禁令无效的榜样)。 从目前 (比如南非) 的情况看， Omicron
的致重症能力有可能远比 Delta 轻微， 哪怕这种轻微是建立在疫苗和过往感染的基础之上而非 intrinsic 的，
那样的基础在欧美也同样存在。 这种轻微倘属事实， 则当 Omicron 凭借巨大的传染性，
在数月乃至数周时间内快速扫过欧美时， 它的实际效果有可能类似于一种强制推行的 “疫苗” (当然，
风险比人工疫苗大得多——对未打人工疫苗者尤其如此)， 使所有人都获得某种程度的免疫力。
这本是我的一种猜测， 但近来看到有专家也持大同小异之见， 故斗胆写出来 “混淆视听”。
补充一下， 所谓 “过度反应”， 我指的是采取了除鼓励和加速打疫苗以外的其他措施 (比如旅行禁令，
恢复某些 lockdown 措施等)。 在欧美的社会环境下， 那些措施对防疫的作用不大，
对生活的干扰及对疫苗信任度的削弱却不小。
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做一个有怀疑和批判精神的现代人。
不要相信那些一质疑就会让质疑者丢饭碗、 进派出所或进精神病院的所谓真理、 真相或历史事实。
不要让 “不造谣、 不信谣、 不传谣” 成为 “只造谣、 只信谣、 只传谣” 的幌子。
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我来做一个美国疫情预测： 虽然这几天盛传大疫情即将到来， 我的预测却是住院和死亡将不仅显著低于年初那波，
且在当前数值上至多略升之后就会下降。
理由是越来越多迹象显示 Omicron 的重症率远低于 Delta (可以是因疫苗及过往感染的叠加之故而非
intrinsic 的)， 快速取代后者的结果将是感染数增加和重症率下降之间的比拼， 我预测后者占优，
故重症和死亡至多略升之后就会下降。
注释一下： 之所以认为住院和死亡有可能先略升才下降， 是因为这两者相对于感染有数周的滞后，
因此 Delta 在感染方面虽已 “失势” (CDC 的新近数据显示 Omicron 已占美国新感染的 73%)，
仍能推动未来数周的住院和死亡。 这个预测晚些天会更有把握 (或见势不妙就不预测了)， 不过既然做预测，
多点挑战和风险才有意思。 我会留着这条微博， 过段日子来检讨结果。
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【小闲事】 全家赴曼哈顿， 看了洛克菲勒中心的圣诞树、 St. Patrick 大教堂及五大道的圣诞橱窗，
傍晚在法拉盛的一间名为 “有家客栈” 的饭店用餐——特意记下店名， 因氛围、 菜肴都极好， 价格出乎意料的公道
(也可以说是价格公道， 菜肴的质和量都出乎意料的好)， 值得再去， 也值得推荐。 晚上在 Netflix 上看了女儿
“钦点” 的 The Christmas Chronicles。 这是 2018 年的圣诞影片， 很正能量，
也很幽默 (后者至为重要， 因正能量离了幽默极易变成央视， 没法看)。 特别喜欢其中的一个小细节：
圣诞老人见到每个人都亲切地喊出他们的小名， 并说出他们小时候的心愿 (有些心愿跟现实南辕北辙，
令人感慨)。 前几天制作电子书《旧日时光》， 在回忆里沉浸良久，
看到这个小细节不禁心想： 若有谁记得我心中那些旧日时光， 该是多么亲切。
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在 Youtube 上看了一段有关 Alaska 的介绍， 颇有条理， 综述几点作为冷知识： 1. Alaska
购自俄国的价格哪怕计及通货膨胀， 现代富豪 Elon Musk 也一人就能买下 2,000 个； 2. 冷战期间，
阿拉斯加最大城市 Anchorage 作为欧日次佳航线 (最佳航线须飞越苏联， 冷战期间无法通行) 的中转站，
崛起成世界性航空枢纽； 3. 冷战后， 苏联开放领空， 加之飞机性能提升， 无论从航线还是航程角度讲， 客机均已无需从
Anchorage 中转， 使后者的国际客运快速萎缩； 4. 但欧、 亚往返美国的货运飞机经 Anchorage 中转可少带燃油多运货，
这一优势使 Anchorage 的航空货运一枝独秀， 疫情期间更是不降反升， 一度成为世界第一； 5. 就连全球暖化，
对 Anchorage 也是 “发球难财” 的机会， 因全球暖化将导致北冰洋夏天解冻， 极大地改变世界海运线路，
Anchorage 则有望继空运之后， 成为海运枢纽。
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数小时前 (美东时间 12 月 25 日清晨 7:20)， 美、 欧、 加合作研发的詹姆斯·韦伯太空望远镜 (James Webb Space
Telescope) 由位于法属圭亚那 (French Guiana) 的欧洲太空发射场发射升空。 NASA 实况转播中有一句很优美的话：
“lifted off from a tropical rainforest to the edge of time itself, James Webb begins a voyage back to the
birth of the Universe.” (“从一片热带雨林升空， 飞往时间的边缘， 詹姆斯·韦伯开始了重返宇宙起源的征程”)。
当然， 项目的成功与否现在还属未知， 该望远镜将定位于距地球约 150 万公里的日地系统的第二拉格朗日点
(Sun–Earth Lagrange point L2)。
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【小闲事】 在儿子力荐下， 赴曼哈顿中央公园 (到了才知， 力荐的原因居然只是想爬那里的一块 Umpire
Rock)。 园内树叶凋零， 冬日的斜阳映照枯枝， 间杂着悠然往来的骑车人和观光马车， 宛如走进一幅十九世纪的画卷
(惟远方高楼刺破了年代幻觉)。 晚饭找了家兰州拉面馆， 竟遇到一位数年未见的杭州朋友， 真是小概率事件。
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【小闲事】 这几天 Barnes & Noble 的所有精装本都半价 (“50% OFF ALL HARDCOVER BOOKS”)， 昨天去家附近的分店转了转，
买了本 Encounters with Euclid (属可买可不买之书——因我以前写过关于 Eucid
的文章， 对相关信息已基本了解)。 付账时问店员：
这是普通促销还是书店将要…… (后面的词拖着没说出来) 店员明白我的意思， 苦笑说他也不清楚， 应该是普通促销吧。
不过临走前扫了一眼精装本被大量买走后的凌乱， 有一种隐隐的不安。
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“眯眯眼” 都能变成 “辱华”， 莫非今后的国人要按标准形象整容成 “克隆军团”？ 即便如此，
也还会有别款的 “辱华” 帽子发明出来的。 这种以 “辱华” 为内斗大棒的做法， 是不折不扣的 “自取其辱”。
其实， 真正 “辱华” 的是那些 “一犬吠形，百犬吠声” 的小粉红。 它们的肆无忌惮， 它们之成为主流，
是中国的最大耻辱。
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【小闲事】 这两天全家旧地重游： 昨天去了新泽西的 Mitsuwa， 今天则造访了曼哈顿世贸中心一带， 皆为阔别两年之地。
其中前者在孩子们的餐馆排行榜上向居榜首， 但先是 lockdown， 后又因女儿离家念书， 儿子虽不忘美食，
却坚定地要等姐姐放假一起去， 于是拖到昨天。 两地的餐饮水准都略有下降： 前者的个别餐点改为了晚餐才有；
后者附近的 Brookfield Place 则不仅价格攀升， 店铺也减少了。 新年临近， 加上很多公司改为远程上班，
世贸一带的上班族大为减少， 餐馆不再拥挤， 我们轻易找到了可以远眺哈德逊河及对岸 Jersey City 的临窗位置。
饭后在近旁的 Rockefeller 公园散步， 至下午 4 时许启程回家。
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【小闲事】 上午 10:30 左右启程赴 Governors Island。 此系 “漏网” 之地——是纽约市称得上景点而我未曾去过的少数地方之一。
不知是否年末之故， 登岛的轮渡未收费。 同样不知是否年末之故， 岛上的餐饮只剩两家仍营业， 每家都排了无穷长的队。
这小岛算纽约市一个历史悠久的地方， 建筑多已破旧。 饭后， 沿面向周边陆地的岸线， 顺时针绕岛走了半圈， 隔海看了
Liberty Island、 Jersey City、 Manhattan 及 Brooklyn。 下午 4 时许启程回家， 为 2021 年的最后外出划上了句号。
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2021 年 “书账” (本)：
购书总计：72
- Amazon：6
- Barnes & Noble：4
- Strand：3
- Book Reve：2
- Chinese：55
- from China：32 (受赠)
- from Taiwan：14 (邮购)
- from US：9
- Others：2
弃书总计：184
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